Teilen Sie in zwei Hälften - Dreiecke und Quadrate

Das neue Jahr 2019 steht vor der Tür. Das ist keine Primzahl. Die Summe der Ziffern ist 2 + 0 + 1 + 9 = 12, was bedeutet, dass die Zahl durch 3 teilbar ist. Eine Primzahl muss lange warten, bis 2027. Dennoch werden nur sehr wenige Leser dieser Episode das XNUMX. Jahrhundert erreichen. Aber so sind sie auf dieser Welt auf jeden Fall, besonders das schöne Geschlecht. Ich bin eifersüchtig? Nicht wirklich... Aber ich muss über Mathematik schreiben. In letzter Zeit schreibe ich immer mehr über Grundschulbildung.

Kann der Kreis unterteilt werden? zwei gleiche Hälften? Definitiv. Wie heißen die Teile, die Sie erhalten? Ja, Halbkreis. Ist es beim Teilen eines Kreises mit einer Linie (einem Schnitt) notwendig, eine Linie durch die Mitte des Kreises zu zeichnen? Ja. Oder vielleicht nicht? Denken Sie daran, dass dies ein einziger Schnitt, eine gerade Linie ist.

Sind Sie davon überzeugt, dass jeder Eine gerade Linie, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft, teilt sie in gleiche Teile? Sind Sie davon überzeugt, dass Sie den Kreis durch die Mitte ziehen müssen, um ihn in gleiche Teile einer geraden Linie zu teilen?

Begründe deinen Glauben. Und was heißt „begründen“? Der mathematische Beweis unterscheidet sich vom "Beweis" im juristischen Sinne. Der Anwalt muss den Richter überzeugen und damit den Obersten Gerichtshof zwingen, die Unschuld des Mandanten festzustellen. Für mich war es immer inakzeptabel, wie sehr das Schicksal des Angeklagten von der Eloquenz des „Papageis“ abhängt (so charakterisieren wir den Anwalt ein wenig abschätzig).

Für einen Mathematiker reicht der Glaube allein nicht aus. Der Beweis muss formal sein und die These muss die letzte Formel in der logischen Reihenfolge der Annahme sein. Dabei handelt es sich um ein recht komplexes Konzept, das im Alltag kaum umsetzbar ist.

Vielleicht ist es so besser: Klagen und Urteile, die auf „mathematischer Logik“ basieren, wären einfach ... seelenlos. Offenbar kommt das immer häufiger vor. Aber ich möchte einfach nur oh.

Selbst ein formaler Beweis einfacher Dinge kann Schwierigkeiten bereiten. Wie kann man diese beiden Überzeugungen über die Teilung des Kreises beweisen? Je einfacher es zunächst ist Jede durch den Mittelpunkt verlaufende Gerade teilt den Kreis in zwei gleiche Teile.

Wir können Folgendes sagen: Drehen wir die Figur in Abb. 1 um 180 Grad. Dann wird das grüne Kästchen blau und das blaue Kästchen grün. Daher müssen sie gleiche Quadrate haben. Wenn Sie eine Linie nicht durch die Mitte ziehen, wird eines der Felder deutlich kleiner.

Dreiecke und Quadrate

Also lasst uns weitermachen Quadrat. Haben wir dasselbe wie:

1. jede Linie, die durch die Mitte des Quadrats verläuft, teilt es in zwei gleiche Teile?
2. Wenn eine gerade Linie ein Quadrat in zwei gleiche Teile teilt, sollte sie dann durch die Mitte des Quadrats verlaufen?

Sind wir uns da sicher? Die Situation ist anders als beim Rad (2-7).

lass uns gehen gleichseitiges Dreieck. Wie schneidet man es in zwei Hälften? Ganz einfach – einfach die Oberseite abschneiden und senkrecht zur Basis abschneiden (8).

Ich erinnere Sie daran, dass die Basis eines Dreiecks jede seiner Seiten sein kann, auch die geneigten. Der Schnitt verläuft durch die Mitte des Dreiecks. Halbiert eine Gerade, die durch den Mittelpunkt eines Dreiecks geht, dieses?

Nein! Siehe Abb. 9. Jedes der farbigen Dreiecke hat die gleiche Fläche (warum?), also hat die Oberseite des großen Dreiecks vier und die Unterseite fünf. Das Verhältnis der Felder beträgt nicht 1:1, sondern 4:5.

Was wäre, wenn wir die Basis beispielsweise in vier Teile teilen würden? Wir teilen ein gleichseitiges Dreieck durch die Mitte und durch einen Punkt in einem Viertel der Basis schneiden? Leser, können Sie sehen, dass in Abbildung 10 die Fläche des „türkisen“ Dreiecks 9/20 der Fläche des gesamten Dreiecks beträgt? Du kannst nicht sehen? Schade, die Entscheidung überlasse ich Ihnen.

Die erste Frage - erklären, wie es ist: Ich teile die Basis in vier gleiche Teile, ziehe eine gerade Linie durch den Teilungspunkt und die Mitte des Dreiecks, und auf der gegenüberliegenden Seite bekomme ich eine seltsame Teilung im Verhältnis 2: 3? Warum? kannst du es berechnen?

Oder vielleicht haben Sie, lieber Leser, dieses Jahr Ihren High-School-Abschluss gemacht? Wenn ja, bestimmen Sie dann, an welcher Position der Zeilen das Verhältnis der Felder minimal ist? Sie wissen nicht? Ich sage nicht, dass Sie das Problem sofort beheben sollten. Ich gebe dir zwei Stunden.

Wenn Sie es nicht lösen, dann... na ja, viel Glück auf jeden Fall mit Ihrem High-School-Abschluss. Ich werde auf dieses Thema zurückkommen.

Erwachen Sie zur Unabhängigkeit

- Können Sie überrascht sein? Dies ist der Titel eines Buches, das vor langer Zeit in der Zeitschrift Delta, einer monatlichen Zeitschrift für Mathematik, Physik und Astronomie, veröffentlicht wurde. Werfen Sie einen Blick auf die Welt um Sie herum. Warum gibt es Flüsse mit sandigem Grund (das Wasser soll schließlich sofort aufgenommen werden!).

Warum schweben Wolken durch die Luft? Warum fliegt das Flugzeug? (sollte sofort fallen). Warum ist es in den Bergen auf den Gipfeln manchmal wärmer als in den Tälern? Warum steht die Sonne auf der Südhalbkugel mittags im Norden? Warum ist die Summe der Quadrate der Hypotenuse gleich dem Quadrat der Hypotenuse? Warum scheint der Körper beim Eintauchen in Wasser an Gewicht zu verlieren, da er Wasser verdrängt?

Fragen, Fragen, Fragen. Nicht alle davon sind sofort auf den Alltag anwendbar, aber früher oder später werden sie es sein. Ist Ihnen die Bedeutung der letzten Frage (über das von einem untergetauchten Körper verdrängte Wasser) bewusst? Als ein älterer Herr dies erkannte, rannte er nackt durch die Stadt und rief: „Eureka, ich habe es gefunden!“ Er entdeckte nicht nur das physikalische Gesetz, sondern bewies auch, dass der Juwelier von König Heron ein Fälscher war!!! Details finden Sie in den Tiefen des Internets.

Schauen wir uns nun andere Formen an.

Sechseck (11-14). Halbiert eine durch seinen Mittelpunkt verlaufende Gerade ihn? Sollte die Linie, die das Sechseck halbiert, durch seinen Mittelpunkt verlaufen?

Wie wäre es mit Fünfeck (15, 16)? Achteck (17)? Und für Ellipsen (18)?

Einer der Mängel der Schulwissenschaften besteht darin, dass wir „im neunzehnten Jahrhundert“ unterrichten – wir geben den Schülern ein Problem und erwarten von ihnen, dass sie es lösen. Was ist daran schlecht? Nichts – außer dass unser Schüler in ein paar Jahren nicht nur auf Befehle reagieren muss, die er von jemandem „erhalten“ hat, sondern auch Probleme sehen, Aufgaben formulieren und in einem Bereich navigieren muss, den noch niemand erreicht hat.

Ich bin so alt, dass ich von einer solchen Stabilität träume: „Studiere, John, mache Schuhe, und du wirst für den Rest deines Lebens als Schuhmacher arbeiten.“ Bildung als Übergang in die höchste Kaste. Interesse für den Rest Ihres Lebens.

Aber ich bin so „modern“, dass ich weiß, dass ich meine Schüler auf Berufe vorbereiten muss, die ... es noch nicht gibt. Das Beste, was ich tun kann und kann, ist, den Schülern zu zeigen: WIRD DU SICH VERÄNDERN? Auch auf der Ebene der Elementarmathematik.

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