Geometrische Pfade und Dickichte

Beim Schreiben dieses Artikels fiel mir ein sehr altes Lied von Jan Pietrzak ein, das er vor seiner satirischen Tätigkeit im Kabarett Pod Egidą sang, das in der Volksrepublik Polen als Sicherheitsventil gilt; Man könnte ehrlich über die Paradoxien des Systems lachen. In diesem Lied empfahl der Autor sozialistische politische Beteiligung, verspottete diejenigen, die unpolitisch sein wollen, und schaltete in der Zeitung das Radio aus. „Es ist besser, wieder in die Schule zu gehen und zu lesen“, sang der damals XNUMX-jährige Petshak ironisch.

Ich gehe zurück in die Schule und lese. Ich lese (nicht zum ersten Mal) das Buch „Lylavati“ von Shchepan Yelensky (1881-1949) erneut. Für wenige Leser sagt das Wort selbst etwas aus. Dies ist der Name der Tochter des berühmten hinduistischen Mathematikers Bhaskara (1114-1185) namens Akaria oder des Weisen, der sein Buch über Algebra mit diesem Namen betitelte. Lilavati wurde später selbst eine renommierte Mathematikerin und Philosophin. Anderen Quellen zufolge war sie es, die das Buch selbst geschrieben hat.

Szczepan Yelensky gab seinem Buch über Mathematik (Erstausgabe 1926) den gleichen Titel. Es mag sogar schwierig sein, dieses Buch als mathematisches Werk zu bezeichnen – es war eher eine Reihe von Rätseln und größtenteils aus französischen Quellen umgeschrieben (Urheberrechte im modernen Sinne existierten nicht). Auf jeden Fall war es viele Jahre lang das einzige populäre polnische Buch über Mathematik - später wurde es durch Jelenskys zweites Buch, Pythagoras' Bonbons, ergänzt. So hatten junge Leute, die sich für Mathematik interessierten (genau das war ich einmal), keine Wahl ...

andererseits musste „Lilavati“ fast auswendig gekannt werden… Ah, es gab Zeiten… Ihr größter Vorteil war, dass ich damals… ein Teenager war. Heute betrachte ich Lilavati aus der Sicht eines gut ausgebildeten Mathematikers ganz anders – vielleicht wie ein Kletterer in den Kurven des Pfades nach Shpiglasova Pshelench. Weder das eine noch das andere verliert seinen Charme ... In seinem charakteristischen Stil schreibt Shchepan Yelensky, der sich in seinem persönlichen Leben zu den sogenannten nationalen Ideen bekennt, im Vorwort:

Ohne auf die Beschreibung nationaler Besonderheiten einzugehen, möchte ich sagen, dass Jelenskis Worte über die Mathematik auch nach neunzig Jahren nicht an Aktualität verloren haben. Mathematik lehrt dich denken. Es ist eine Tatsache. Können wir Ihnen beibringen, anders, einfacher und schöner zu denken? Kann sein. Es ist nur... wir können es immer noch nicht. Ich erkläre meinen Schülern, die nicht Mathe machen wollen, dass dies auch ein Test ihrer Intelligenz ist. Wenn Sie keine wirklich einfache mathematische Theorie lernen können, dann... sind Ihre geistigen Fähigkeiten vielleicht schlechter, als uns beiden lieb ist...?

Zeichen im Sand

Und hier ist die erste Geschichte in „Lylavati“ – eine Geschichte, die vom französischen Philosophen Joseph de Maistre (1753-1821) beschrieben wurde.

Ein Seemann wurde von einem Schiffswrack in Wellen auf ein leeres Ufer geschleudert, das er für unbewohnt hielt. Plötzlich sah er im Küstensand die Spur einer geometrischen Figur, die vor jemandem gezeichnet war. Da wurde ihm klar, dass die Insel nicht verlassen ist!

Yelensky zitiert de Mestri und schreibt: geometrische Figures wäre ein stummer Ausdruck für den unglücklichen, schiffbrüchigen Zufall gewesen, aber er zeigte ihm auf einen Blick Proportionen und Zahlen, und dies kündigte einen aufgeklärten Mann an. So viel zur Geschichte.

Beachten Sie, dass ein Seemann die gleiche Reaktion hervorrufen wird, indem er beispielsweise den Buchstaben K, ... und andere Spuren der Anwesenheit einer Person zeichnet. Hier wird die Geometrie idealisiert.

Der Astronom Camille Flammarion (1847-1925) schlug jedoch mithilfe der Geometrie vor, dass Zivilisationen sich aus der Ferne begrüßen. Er sah darin den einzig richtigen und möglichen Kommunikationsversuch. Zeigen wir solchen Marsmenschen die pythagoräischen Dreiecke ... sie werden uns mit Thales antworten, wir werden ihnen mit Vieta-Mustern antworten, ihr Kreis wird in ein Dreieck passen, und so begann eine Freundschaft ...

Schriftsteller wie Jules Verne und Stanislav Lem griffen diese Idee auf. Und 1972 wurden Kacheln mit geometrischen (und nicht nur) Mustern an Bord der Pioneer-Sonde angebracht, die immer noch die Weiten des Weltraums durchquert, jetzt fast 140 astronomische Einheiten von uns entfernt (1 I ist die durchschnittliche Entfernung der Erde von der Erde). . Sonne, also etwa 149 Millionen km). Die Kachel wurde zum Teil vom Astronomen Frank Drake entworfen, dem Schöpfer der umstrittenen Regel zur Zahl außerirdischer Zivilisationen.

Geometrie ist erstaunlich. Wir alle kennen den allgemeinen Standpunkt zum Ursprung dieser Wissenschaft. Wir (wir Menschen) haben gerade erst begonnen, das Land (und später das Land) für die nützlichsten Zwecke zu vermessen. Das Bestimmen von Abständen, das Zeichnen gerader Linien, das Markieren rechter Winkel und das Berechnen von Volumina wurden nach und nach zur Notwendigkeit. Daher das Ganze Geometrie („Vermessung der Erde“), daher alle Mathematik ...

Dieses klare Bild der Wissenschaftsgeschichte trübte uns jedoch einige Zeit. Denn wenn die Mathematik ausschließlich zu operativen Zwecken benötigt würde, wären wir nicht damit beschäftigt, einfache Theoreme zu beweisen. „Sie sehen, dass das überhaupt wahr sein sollte“, würde man sagen, nachdem man überprüft hat, dass in mehreren rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Quadrate der Hypotenusen gleich dem Quadrat der Hypotenusen ist. Warum dieser Formalismus?

Pflaumenkuchen muss lecker sein, das Computerprogramm muss funktionieren, die Maschine muss funktionieren. Wenn ich das Fassungsvermögen des Fasses dreißig Mal gezählt habe und alles in Ordnung ist, warum sonst?

In der Zwischenzeit kam den alten Griechen der Gedanke, dass einige formelle Beweise gefunden werden mussten.

Die Mathematik beginnt also mit Thales (625-547 v. Chr.). Es wird angenommen, dass es Milet war, der sich zu fragen begann, warum. Für kluge Menschen reicht es nicht aus, dass sie etwas gesehen haben, dass sie von etwas überzeugt sind. Sie erkannten die Notwendigkeit eines Beweises, einer logischen Abfolge von Argumenten von der Annahme bis zur These.

Sie wollten auch mehr. Wahrscheinlich war es Thales, der als erster versuchte, physikalische Phänomene auf naturalistische Weise, ohne göttliches Eingreifen, zu erklären. Die europäische Philosophie begann mit der Naturphilosophie – mit dem, was bereits hinter der Physik steckt (daher der Name: Metaphysik). Aber die Grundlagen der europäischen Ontologie und Naturphilosophie wurden von den Pythagoräern gelegt (Pythagoras, ca. 580–ca. 500 v. Chr.).

Er gründete in Crotone im Süden der Apenninenhalbinsel eine eigene Schule – heute würde man sie eine Sekte nennen. Wissenschaft (im heutigen Sinne des Wortes), Mystik, Religion und Fantasie sind alle eng miteinander verbunden. Thomas Mann hat in dem Roman „Doktor Faustus“ den Mathematikunterricht in einem deutschen Gymnasium sehr schön dargestellt. Dieses von Maria Kuretskaya und Witold Virpsha übersetzte Fragment lautet:

In Charles van Dorens interessantem Buch „The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day“ habe ich einen sehr interessanten Standpunkt gefunden. In einem der Kapitel beschreibt der Autor die Bedeutung der pythagoräischen Schule. Schon der Titel des Kapitels hat mich beeindruckt. Es lautet: „Die Erfindung der Mathematik: Die Pythagoräer“.

Wir diskutieren oft darüber, ob mathematische Theorien entdeckt werden (z. B. unbekannte Länder) oder erfunden werden (z. B. Maschinen, die vorher nicht existierten). Manche kreative Mathematiker verstehen sich als Forscher, andere als Erfinder oder Designer, seltener als Gegenspieler.

Aber der Autor dieses Buches schreibt über die Erfindung der Mathematik im Allgemeinen.

Von der Übertreibung zur Täuschung

Nach diesem langen Einführungsteil werde ich zum Anfang übergehen. Geometrieum zu beschreiben, wie eine übermäßige Abhängigkeit von der Geometrie einen Wissenschaftler irreführen kann. Johannes Kepler gilt in der Physik und Astronomie als Entdecker der drei Bewegungsgesetze der Himmelskörper. Erstens bewegt sich jeder Planet im Sonnensystem auf einer elliptischen Umlaufbahn um die Sonne, in deren einem Brennpunkt sich die Sonne befindet. Zweitens zeichnet der von der Sonne ausgehende Leitstrahl des Planeten in regelmäßigen Abständen gleiche Felder. Drittens ist das Verhältnis des Quadrats der Umlaufperiode eines Planeten um die Sonne zur dritten Potenz der großen Halbachse seiner Umlaufbahn (d. h. der durchschnittlichen Entfernung von der Sonne) für alle Planeten im Sonnensystem konstant.

Vielleicht war dies das dritte Gesetz – es erforderte viele Daten und Berechnungen, um es zu etablieren, was Kepler dazu veranlasste, weiterhin nach Mustern in der Bewegung und Position der Planeten zu suchen. Die Geschichte seiner neuen „Entdeckung“ ist sehr lehrreich. Seit der Antike bewundern wir nicht nur regelmäßige Polyeder, sondern auch Argumente, die zeigen, dass es im Raum nur fünf davon gibt. Ein dreidimensionales Polyeder heißt regelmäßig, wenn seine Flächen identische regelmäßige Vielecke sind und jeder Scheitelpunkt die gleiche Anzahl an Kanten hat. Beispielsweise sollte jede Ecke eines regelmäßigen Polyeders „gleich aussehen“. Das bekannteste Polyeder ist der Würfel. Jeder hat einen gewöhnlichen Knöchel gesehen.

Weniger bekannt ist der regelmäßige Tetraeder, in der Schule wird er regelmäßig Dreieckspyramide genannt. Es sieht aus wie eine Pyramide. Die übrigen drei regulären Polyeder sind weniger bekannt. Ein Oktaeder entsteht, wenn wir die Mittelpunkte der Kanten eines Würfels verbinden. Dodekaeder und Ikosaeder sehen bereits aus wie Kugeln. Sie bestehen aus weichem Leder und sind angenehm zu graben. Die Argumentation, dass es außer den fünf platonischen Körpern keine regelmäßigen Polyeder gibt, ist sehr gut. Zunächst erkennen wir, dass, wenn der Körper regelmäßig ist, an jedem Scheitelpunkt die gleiche Anzahl (sei q) identischer regelmäßiger Polygone konvergieren muss, seien es p-Winkel. Jetzt müssen wir uns merken, wie groß der Winkel in einem regelmäßigen Polygon ist. Wenn sich jemand nicht mehr an die Schulzeit erinnert, erinnern wir Sie daran, wie Sie das richtige Muster finden. Wir machten einen Ausflug um die Ecke. An jedem Scheitelpunkt drehen wir uns um den gleichen Winkel a. Wenn wir das Polygon umrunden und zum Ausgangspunkt zurückkehren, haben wir p solche Drehungen gemacht und insgesamt 360 Grad gedreht.

Aber α ist das 180-Grad-Komplement des Winkels, den wir berechnen wollen, und ist daher

Wir haben die Formel für den Winkel (ein Mathematiker würde sagen: Winkelmaße) eines regelmäßigen Vielecks gefunden. Überprüfen wir: Im Dreieck p = 3 gibt es kein a

So. Wenn p = 4 (Quadrat), dann

Grad ist auch in Ordnung.

Was bekommen wir für ein Fünfeck? Was passiert also, wenn es q Polygone gibt, von denen jedes p den gleichen Winkel hat?

 Grad, der an einem Scheitelpunkt absteigt? Wenn es auf einer Ebene wäre, würde sich ein Winkel bilden

Grad und darf nicht größer als 360 Grad sein - denn dann überlappen sich die Polygone.

Da sich diese Polygone jedoch im Raum treffen, muss der Winkel kleiner als der Vollwinkel sein.

Und hier ist die Ungleichung, aus der sich alles ergibt:

Teilen Sie es durch 180, multiplizieren Sie beide Teile mit p, bestellen Sie (p-2) (q-2) < 4. Was folgt? Seien wir uns bewusst, dass p und q natürliche Zahlen sein müssen und dass p > 2 (warum? Und was ist p?) und auch q > 2. Es gibt nicht viele Möglichkeiten, das Produkt zweier natürlicher Zahlen kleiner als 4 zu machen. Wir Ich werde sie alle in Tabelle 1 auflisten.

Ich poste keine Zeichnungen, jeder kann diese Figuren im Internet sehen ... Im Internet ... Ich werde einen lyrischen Exkurs nicht ablehnen - vielleicht ist er für junge Leser interessant. 1970 sprach ich auf einem Seminar. Das Thema war schwierig. Ich hatte wenig Zeit mich vorzubereiten, ich saß abends. Der Hauptartikel war schreibgeschützt. Der Laden war gemütlich, mit einer Arbeitsatmosphäre, naja, es schloss um sieben. Dann bot die Braut (jetzt meine Frau) selbst an, den gesamten Artikel für mich neu zu schreiben: etwa ein Dutzend gedruckte Seiten. Ich habe es abgeschrieben (nein, nicht mit Federkiel, wir hatten sogar Stifte), der Vortrag war ein Erfolg. Heute habe ich versucht, diese bereits alte Veröffentlichung zu finden. Ich erinnere mich nur an den Namen des Autors ... Die Suche im Internet dauerte lange ... volle fünfzehn Minuten. Ich denke mit einem Grinsen und einem kleinen ungerechtfertigten Bedauern darüber nach.

Wir kehren zu zurück Kepler und Geometrie. Anscheinend sagte Platon die Existenz der fünften regulären Form voraus, weil ihm etwas fehlte, das die ganze Welt vereinheitlichte. Vielleicht beauftragte er deshalb einen Studenten (Teajtet), nach ihr zu suchen. So war es auch, auf dessen Grundlage das Dodekaeder entdeckt wurde. Wir nennen diese Haltung Platons Pantheismus. Alle Wissenschaftler, bis hin zu Newton, erlagen ihr mehr oder weniger. Seit dem äußerst rationalen XNUMX. Jahrhundert hat sein Einfluss drastisch abgenommen, obwohl wir uns nicht dafür schämen sollten, dass wir alle auf die eine oder andere Weise ihm erliegen.

In Keplers Konzept zum Aufbau des Sonnensystems stimmte alles, die experimentellen Daten stimmten mit der Theorie überein, die Theorie war logisch kohärent, sehr schön ... aber völlig falsch. Zu seiner Zeit waren nur sechs Planeten bekannt: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn. Warum gibt es nur sechs Planeten? fragte Kepler. Und welche Regelmäßigkeit bestimmt ihren Abstand zur Sonne? Er ging davon aus, dass alles zusammenhängt Geometrie und Kosmogonie sind eng miteinander verbunden. Aus den Schriften der alten Griechen wusste er, dass es nur fünf regelmäßige Polyeder gab. Er sah, dass es zwischen den sechs Umlaufbahnen fünf Hohlräume gab. Entspricht also vielleicht jeder dieser freien Räume einem regelmäßigen Polyeder?

Nach mehreren Jahren der Beobachtung und theoretischen Arbeit erstellte er die folgende Theorie, mit deren Hilfe er die Abmessungen der Umlaufbahnen ziemlich genau berechnete, die er in dem 1596 erschienenen Buch „Mysterium Cosmographicum“ vorstellte: Stellen Sie sich eine riesige Kugel vor, Deren Durchmesser ist der Durchmesser der Umlaufbahn des Merkur bei seiner jährlichen Bewegung um die Sonne. Stellen Sie sich dann vor, dass auf dieser Kugel ein regelmäßiges Oktaeder ist, darauf eine Kugel, darauf ein Ikosaeder, darauf wieder eine Kugel, darauf ein Dodekaeder, darauf eine andere Kugel, darauf ein Tetraeder, dann wieder eine Kugel, ein Würfel und schließlich wird auf diesem Würfel die Kugel beschrieben.

Kepler kam zu dem Schluss, dass die Durchmesser dieser aufeinanderfolgenden Sphären die Durchmesser der Umlaufbahnen anderer Planeten waren: Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn. Die Theorie schien sehr zutreffend zu sein. Leider stimmte dies mit den experimentellen Daten überein. Und was wäre ein besserer Beweis für die Richtigkeit einer mathematischen Theorie als ihre Übereinstimmung mit experimentellen Daten oder Beobachtungsdaten, insbesondere „vom Himmel genommen“? Ich fasse diese Berechnungen in Tabelle 2 zusammen. Was hat Kepler also getan? Ich habe versucht und versucht, bis es geklappt hat, das heißt, als die Konfiguration (Reihenfolge der Kugeln) und die daraus resultierenden Berechnungen mit den Beobachtungsdaten übereinstimmten. Hier sind moderne Kepler-Zahlen und Berechnungen:

Man kann der Faszination der Theorie erliegen und glauben, dass die Messungen am Himmel ungenau seien und nicht die Berechnungen, die in der Stille der Werkstatt durchgeführt wurden. Leider wissen wir heute, dass es mindestens neun Planeten gibt und dass alle Zufälle der Ergebnisse nur ein Zufall sind. Eine Schande. Es war so schön...