Coronavirus und Mathematikunterricht – teilweise in Auftrag gegebene Sammlungen

Das Virus, das uns getroffen hat, treibt eine schnelle Bildungsreform voran. vor allem auf den höheren Bildungsstufen. Zu diesem Thema kann man einen längeren Aufsatz schreiben, es wird sicherlich einen Strom von Doktorarbeiten zur Methodik des Fernstudiums geben. In gewisser Hinsicht ist dies eine Rückkehr zu den Wurzeln und zu den vergessenen Gewohnheiten des Selbststudiums. So war es zum Beispiel in der Kremenez-Realschule (in Kremenez, jetzt in der Ukraine, die 1805-31 bestand, bis 1914 vegetierte und 1922-1939 ihre Blütezeit erlebte). Die Schüler lernten dort alleine – erst nachdem sie gelernt hatten, kamen die Lehrer mit Korrekturen, letzten Klärungen, Hilfen an schwierigen Stellen etc. e. Als ich Student wurde, sagten sie auch, dass wir uns selbst Wissen aneignen sollten, dass wir nur Unterricht bestellen und an die Universität schicken. Aber damals war es nur eine Theorie...

Im Frühjahr 2020 bin ich nicht der Einzige, der entdeckt hat, dass Unterricht (inkl. Vorlesungen, Übungen etc.) sehr effektiv und mit hohem Arbeitsaufwand aus der Ferne (Google Meet, Microsoft Teams etc.) durchgeführt werden kann auf Seiten des Lehrers und lediglich der Wunsch „eine Ausbildung zu erhalten“ auf der anderen Seite; aber auch mit etwas Trost: Ich sitze zu Hause, auf meinem Lehrstuhl, und in traditionellen Vorlesungen haben die Studierenden oft auch etwas anderes gemacht. Die Wirkung eines solchen Trainings kann sogar besser sein als beim traditionellen, bis ins Mittelalter zurückreichenden Klassen-Unterrichtssystem. Was wird von ihm übrig bleiben, wenn das Virus zur Hölle geht? Ich denke ... ziemlich viel. Aber wir werden sehen.

Heute werde ich über teilweise geordnete Sets sprechen. Das ist einfach. Da eine binäre Relation in einer nichtleeren Menge X eine partielle Ordnungsrelation genannt wird, wenn sie existiert

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, Philosoph,

Präsident der Polnischen Akademie der Wissenschaften 1957–1962).

1. Reflexiv, d.h. für jedes ∈ gibt es „,
2. Passant, d.h. wenn „, und „, dann“,
3. Halbasymmetrisch, d.h. („∧“)→ =

Ein String ist eine Menge mit der folgenden Eigenschaft: Für zwei beliebige Elemente ist diese Menge entweder "oder y". Antikette ist...

Halt halt! Kann man das alles verstehen? Natürlich ist es das. Aber hat einer der Leser (der etwas anderes weiß) bereits verstanden, was hier steht?

Ich glaube nicht! Und das ist der Kanon des Mathematikunterrichts. Auch in der Schule. Zuerst eine anständige, strenge Definition, und dann werden diejenigen, die nicht vor Langeweile eingeschlafen sind, bestimmt etwas verstehen. Diese Methode wurde von den „großen“ Mathematiklehrern eingeführt. Er muss vorsichtig und streng sein. Es ist wahr, dass es am Ende so sein sollte. Mathematik muss eine exakte Wissenschaft sein (siehe auch: ).

Ich muss gestehen, dass ich an der Universität, an der ich nach meiner Emeritierung von der Universität Warschau arbeite, auch viele Jahre lang gelehrt habe. Nur darin befand sich der berüchtigte Eimer mit kaltem Wasser (soll es dabei bleiben: Es brauchte einen Eimer!). Plötzlich wurde die hohe Abstraktion leicht und angenehm. Machen Sie aufmerksam: Einfach bedeutet nicht einfach. Auch der Leichtboxer hat es schwer.

Ich lächle über meine Erinnerungen. Die Grundlagen der Mathematik wurden mir vom damaligen Dekan des Fachbereichs beigebracht, einem erstklassigen Mathematiker, der gerade von einem längeren Aufenthalt in den Vereinigten Staaten zurückgekehrt war, was für sich genommen schon etwas Außergewöhnliches war. Ich glaube, sie war ein wenig snobistisch, als sie ein wenig Polnisch vergaß. Sie missbrauchte das altpolnische „was“, „deshalb“, „Azalee“ und prägte den Begriff: „halbasymmetrische Beziehung“. Ich liebe es, es zu benutzen, es ist wirklich genau. Ich mag. Aber das verlange ich nicht von den Studierenden. Dies wird allgemein als „geringe Antisymmetrie“ bezeichnet. Zehn schöne.

Vor langer Zeit, denn in den siebziger Jahren (des letzten Jahrhunderts) gab es eine große, freudige Reform des Mathematikunterrichts. Dies fiel mit dem Beginn der kurzen Regierungszeit von Eduard Gierek zusammen - einer gewissen Öffnung unseres Landes zur Welt. „Kindern kann auch höhere Mathematik beigebracht werden“, riefen die Großen Lehrer aus. Für Kinder wurde eine Zusammenfassung der Universitätsvorlesung "Grundlagen der Mathematik" erstellt. Dies war ein Trend nicht nur in Polen, sondern in ganz Europa. Das Lösen der Gleichung war nicht genug, jedes Detail musste erklärt werden. Um nicht unbegründet zu sein, kann jeder der Reader das Gleichungssystem lösen:

Die Schüler mussten jedoch jeden Schritt begründen, auf relevante Aussagen verweisen usw. Dies war ein klassischer Überschuss an Form gegenüber Inhalt. Es fällt mir jetzt leicht, Kritik zu üben. Auch ich war einmal ein Befürworter dieses Ansatzes. Es ist spannend... für junge Leute, die sich für Mathematik begeistern. Das war natürlich so (und der Aufmerksamkeit halber auch ich).

Aber genug des lyrischen Exkurses, kommen wir zur Sache: eine Vorlesung, die „theoretisch“ für Zweitsemester des Polytechnikums gedacht war und ohne sie trocken wie Kokosflocken gewesen wäre. Ich übertreibe ein wenig...

Guten Morgen für dich. Das heutige Thema ist Teilreinigung. Nein, das ist kein Hinweis auf nachlässige Reinigung. Der beste Vergleich wäre zu überlegen, was besser ist: Tomatensuppe oder Sahnetorte. Die Antwort ist klar: je nachdem was. Zum Nachtisch - Kekse und für ein nahrhaftes Gericht: Suppe.

In der Mathematik beschäftigen wir uns mit Zahlen. Sie sind geordnet: Sie sind größer und kleiner, aber von zwei verschiedenen Zahlen ist immer eine kleiner, was bedeutet, dass die andere größer ist. Sie sind der Reihe nach angeordnet, wie Buchstaben im Alphabet. Im Klassentagebuch kann die Reihenfolge wie folgt lauten: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (das sind Freunde und Klassenkameraden aus meiner Klasse!). Wir haben auch keinen Zweifel daran, dass Matusyak „Matushelyansky“ Matushevsky „Matisyak“ ist. Das Symbol für „doppelte Ungleichheit“ hat die Bedeutung „vorher“.

In meinem Reiseclub versuchen wir, die Listen alphabetisch zu gestalten, aber nach Namen, zum Beispiel Alina Wronska „Warbara Kaczarska“, Cesar Bouschitz usw. In offiziellen Aufzeichnungen wäre die Reihenfolge umgekehrt. Mathematiker bezeichnen die alphabetische Reihenfolge als lexikographisch (ein Lexikon ist mehr oder weniger wie ein Wörterbuch). Andererseits ist eine solche Ordnung, bei der wir bei einem aus zwei Teilen (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) bestehenden Namen zunächst den zweiten Teil betrachten, für Mathematiker eine antilexikographische Ordnung. Lange Titel, aber sehr einfacher Inhalt.

1. Lineare Reihenfolge: Bahnhöfe und Haltestellen der Habovka-Zakopane-Bahn aus Podhale, Baujahr 1899 (die Entschlüsselung der Abkürzungen überlasse ich dem Leser).

Alle derartigen Aufträge werden als Linienaufträge bezeichnet. Wir bestellen der Reihe nach: erster, zweiter, dritter. Vom ersten bis zum letzten Punkt ist alles in Ordnung. Es macht nicht immer Sinn. Schließlich ordnen wir Bücher in der Bibliothek nicht so, sondern in Abschnitten. Nur innerhalb der Abteilung ordnen wir linear (in der Regel alphabetisch).

2. Lineare Reihenfolge: Beim Starten des Automotors führen wir Aktionen in einer konsistenten Reihenfolge aus.

Bei größeren Projekten, insbesondere in der Teamarbeit, haben wir keine lineare Reihenfolge mehr. Schauen wir uns an Feige. 3. Wir wollen ein kleines Hotel bauen. Wir haben bereits Geld (Zelle 0). Wir erstellen Genehmigungen, sammeln Materialien, beginnen mit dem Bau und führen gleichzeitig eine Werbekampagne durch, suchen Mitarbeiter und so weiter und so weiter. Bei „10“ können die ersten Gäste einchecken (ein Beispiel aus den Geschichten von Herrn Dombrowski und seinem kleinen Hotel in einem Vorort von Krakau). Wir haben nichtlineare Ordnung – Manche Dinge können parallel passieren.

In den Wirtschaftswissenschaften lernen Sie das Konzept des kritischen Pfads kennen. Dies ist die Reihe von Aktionen, die nacheinander ausgeführt werden müssen (und dies wird in der Mathematik als Kette bezeichnet, dazu gleich mehr) und die die meiste Zeit in Anspruch nehmen. Die Verkürzung der Bauzeit ist eine Neuorganisation des kritischen Pfads. Aber dazu mehr in anderen Vorlesungen (ich erinnere daran, dass ich eine „Universitätsvorlesung“ lese). Wir konzentrieren uns auf Mathematik.

Diagramme wie Abbildung 3 werden Hasse-Diagramme genannt (Helmut Hasse, deutscher Mathematiker, 1898–1979). Jede komplexe Anstrengung muss auf diese Weise geplant werden. Wir sehen Handlungsfolgen: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Mathematiker nennen sie Strings. Die gesamte Idee besteht aus vier Ketten. Im Gegensatz dazu sind die Aktivitätsgruppen 1-2-3-4, 5-6-7 und 8-9 Antiketten. So heißen sie. Tatsache ist, dass in einer bestimmten Gruppe keine der Aktionen von der vorherigen abhängt.

4. Dies ist ebenfalls ein Hasse-Diagramm.

lass uns gehen Figur 4. Was ist beeindruckend? Aber es könnte eine U-Bahn-Karte in einer Stadt sein! U-Bahnen sind immer in Linien gruppiert – sie führen nicht von einer zur anderen. Linien sind separate Linien. In der Stadt Abb. 4 ist Backofen Zeile (denken Sie daran Backofen es wird „boldem“ geschrieben – auf Polnisch heißt es halbdick).

In diesem Diagramm (Abb. 4) gibt es ein kurzes gelbes ABF, ein ACFPS mit sechs Stationen, ein grünes ADGL, ein blaues DGMRT und das längste rote. Der Mathematiker wird sagen: Dieses Hasse-Diagramm hat Backofen Ketten. Es liegt auf der roten Linie sieben Sender: AEINRUW. Was ist mit Antichains? Da sind sie sieben. Der Leser hat bereits bemerkt, dass ich das Wort doppelt unterstrichen habe sieben.

Vorwegnahme Es handelt sich um eine solche Ansammlung von Bahnhöfen, dass es unmöglich ist, ohne Umsteigen von einem zum anderen zu gelangen. Wenn wir ein wenig „verstehen“, werden wir die folgenden Antiketten sehen: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Bitte prüfen Sie, ob es beispielsweise nicht möglich ist, von einem der BCLTV-Sender ohne Umsteigen zu einem anderen BCTLV zu fahren, genauer gesagt: ohne zum unten aufgeführten Sender zurückkehren zu müssen. Wie viele Antichains gibt es? Sieben. Welche Größe ist die Größte? Backen (wieder in Fettdruck).

Sie können sich vorstellen, Studierende, dass das Zusammentreffen dieser Zahlen kein Zufall ist. Das. Dies wurde 1950 von Robert Palmer Dilworth (1914–1993, amerikanischer Mathematiker) entdeckt und bewiesen (also schon immer). Die Anzahl der Zeilen, die benötigt werden, um die gesamte Menge abzudecken, entspricht der Größe der größten Antichain, und umgekehrt: Die Anzahl der Antichains entspricht der Länge der längsten Antichain. Dies ist in einer teilweise geordneten Menge immer der Fall, d. h. eine, die man sich vorstellen kann. Hassego-Diagramm. Dies ist keine ganz strenge und korrekte Definition. Dies nennen Mathematiker eine „Arbeitsdefinition“. Dies unterscheidet sich etwas von der „Arbeitsdefinition“. Dies ist ein Hinweis zum Verständnis teilweise geordneter Mengen. Dies ist ein wichtiger Teil jeder Schulung: Sehen Sie, wie es funktioniert.

Die englische Abkürzung lautet: Dieses Wort klingt in slawischen Sprachen wunderschön, ein bisschen wie eine Distel. Beachten Sie, dass die Distel auch verzweigt ist.

Sehr schön, aber wer braucht das schon? Sie, liebe Studierende, brauchen es, um die Prüfung zu bestehen, und das ist wahrscheinlich ein guter Grund, es zu studieren. Ich höre zu, welche Fragen? Ich höre zu, Herr unter dem Fenster. Oh, die Frage ist, wird dies dem Herrn jemals in Ihrem Leben nützlich sein? Vielleicht nicht, aber auf jeden Fall für jemanden, der schlauer ist als Sie ... Vielleicht für die Analyse kritischer Pfade in einem komplexen Wirtschaftsprojekt?

Ich schreibe diesen Text Mitte Juni, an der Universität Warschau finden die Wahlen des Rektors statt. Ich habe mehrere Kommentare von Internetnutzern gelesen. Es gibt eine überraschende Menge an Hass (oder „Hass“) gegenüber „gebildeten Menschen“. Jemand hat unverblümt geschrieben, dass Menschen mit einer Universitätsausbildung weniger wissen als diejenigen mit einer Universitätsausbildung. Natürlich steige ich nicht in die Diskussion ein. Ich bin nur traurig, dass in der Volksrepublik Polen die etablierte Meinung zurückkehrt, dass man mit Hammer und Meißel alles machen kann. Ich kehre zur Mathematik zurück.

Satz von Dillworth hat mehrere interessante Anwendungen. Einer davon ist als Heiratssatz bekannt.Feige. 6). 

Es gibt eine Gruppe von Frauen (eher Mädchen) und eine etwas größere Gruppe von Männern. Jedes Mädchen denkt etwa so: „Diesen könnte ich für einen anderen heiraten, aber nie im Leben einen dritten.“ Und so weiter, jeder hat seine eigenen Vorlieben. Wir zeichnen ein Diagramm und führen zu jedem von ihnen einen Pfeil von dem Mann, den er nicht als Kandidaten für den Altar ablehnt. F: Können Paare zusammengebracht werden, sodass jedes einen Ehemann findet, den es akzeptiert?

Satz von Philip Hall, sagt, dass dies möglich ist - unter bestimmten Bedingungen, auf die ich hier nicht eingehen werde (dann bei der nächsten Vorlesung, Studenten, bitte). Beachten Sie jedoch, dass die männliche Zufriedenheit hier überhaupt nicht erwähnt wird. Wie Sie wissen, sind es Frauen, die uns wählen, und nicht umgekehrt, wie es uns scheint (ich erinnere Sie daran, dass ich eine Autorin bin, keine Autorin).

Etwas ernsthafte Mathematik. Wie folgt der Satz von Hall aus Dilworth? Es ist sehr einfach. Schauen wir uns noch einmal Abbildung 6 an. Die Ketten dort sind sehr kurz: Sie haben eine Länge von 2 (in Richtung verlaufend). Eine Reihe kleiner Männer ist eine Anti-Kette (gerade weil die Pfeile nur in Richtung zeigen). Somit können Sie die gesamte Kollektion mit so vielen Anti-Ketten abdecken, wie es Männer gibt. So wird jede Frau einen Pfeil haben. Und das bedeutet, dass sie wie der Typ wirken kann, den sie akzeptiert!!!

Moment, fragt jemand, ist das alles? Alles App? Hormone vertragen sich irgendwie und warum Mathe? Erstens ist dies nicht die ganze Anwendung, sondern nur eine aus einer großen Serie. Schauen wir uns einen von ihnen an. Seien (Abb. 6) nicht Vertreter des besseren Geschlechts gemeint, sondern eher nüchterne Käufer, und das sind Marken, zum Beispiel Autos, Waschmaschinen, Abnehmprodukte, Reisebüroangebote usw. Jeder Käufer hat Marken, die er akzeptiert und akzeptiert lehnt ab. Kann etwas getan werden, um jedem etwas zu verkaufen, und wie? Hier enden nicht nur die Witze, sondern auch das Wissen des Autors des Artikels zu diesem Thema. Ich weiß nur, dass die Analyse auf ziemlich komplexer Mathematik basiert.

Mathematikunterricht in der Schule bedeutet Algorithmenunterricht. Dies ist ein wichtiger Teil des Lernens. Aber langsam nähern wir uns dem Erlernen weniger der Mathematik als vielmehr der mathematischen Methode. Genau darum ging es im heutigen Vortrag: Wir reden über abstrakte Denkkonstruktionen, wir denken über den Alltag nach. Wir sprechen von Ketten und Antiketten in Mengen mit inversen, transitiven und anderen Beziehungen, die wir in den Verkäufer-Käufer-Modellen verwenden. Der Computer übernimmt alle Berechnungen für uns. Er wird noch keine mathematischen Modelle erstellen. Wir gewinnen immer noch mit unserem Denken. Wie auch immer, hoffentlich so lange wie möglich!