Neue Mathematik der Maschinen? Elegante Muster und Hilflosigkeit

Nach Ansicht einiger Experten können Maschinen völlig neue Mathematik erfinden oder, wenn man so will, entdecken, die wir Menschen noch nie gesehen oder erfunden haben. Andere argumentieren, dass Maschinen nichts von selbst erfinden, dass sie uns bekannte Formeln nur auf andere Weise darstellen können und dass sie einige mathematische Probleme überhaupt nicht bewältigen können.

Kürzlich präsentierte eine Gruppe von Wissenschaftlern des Technion Institute in Israel und Google Automatisiertes TheoremerstellungssystemSie benannten die Ramanujan-Maschine nach dem Mathematiker Srinivasi Ramanujander Tausende innovativer Formeln in der Zahlentheorie entwickelte, ohne oder mit geringer formaler Ausbildung. Das von den Forschern entwickelte System verwandelte eine Reihe ursprünglicher und wichtiger Formeln in universelle Konstanten, die in der Mathematik vorkommen. Die Arbeit zu diesem Thema wurde in der Zeitschrift Nature veröffentlicht.

Eine der maschinengenerierten Formeln kann verwendet werden, um den Wert einer universellen Konstante namens zu berechnen Katalanische Nummer, effektiver als die Verwendung bisher bekannter, vom Menschen entdeckter Formeln. Allerdings behaupten Wissenschaftler das Ramanujans Auto Es soll den Menschen nicht die Mathematik wegnehmen, sondern den Mathematikern eine Hilfestellung bieten. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es ihrem System an Ehrgeiz mangelt. Wie sie schreiben, versucht die Maschine „die mathematische Intuition der großen Mathematiker nachzuahmen und Hinweise für weitere mathematische Forschungen zu liefern.“

Das System macht Vermutungen über die Werte universeller Konstanten (z. B.), die in eleganten Formeln geschrieben sind, die Kettenbrüche oder Kettenbrüche genannt werden (1). Dies ist die Bezeichnung für die Darstellungsweise einer reellen Zahl als Bruch in einer speziellen Form bzw. den Grenzwert solcher Brüche. Ein Kettenbruch kann endlich sein oder unendlich viele Quotienten haben_i/b_i; Fraktion A_k/B_k erhalten durch Verwerfen von Teilquotienten in einem Kettenbruch, beginnend mit dem (k + 1)-ten, wird als k-ter Redukt bezeichnet und kann mit den Formeln berechnet werden:_-1=1,A₀=b₀, B_-1=0,V₀=1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; konvergiert die Folge der Redukte gegen einen endlichen Grenzwert, so heißt der Kettenbruch konvergent, andernfalls divergent; Ein fortgesetzter Bruch wird als arithmetisches Wenn bezeichnet_i=1, S₀ abgeschlossen, geb_i (i>0) – natürlich; arithmetischer fortgesetzter Bruch konvergiert; jede reelle Zahl erweitert sich zu einem fortgesetzten arithmetischen Bruch, der nur für rationale Zahlen endlich ist.

1. Ein Beispiel für die Schreibweise von Pi als Kettenbruch

Algorithmus der Ramanujan-Maschine wählt alle universellen Konstanten für die linke Seite und alle Kettenbrüche für die rechte Seite aus und berechnet dann jede Seite separat mit einiger Präzision. Wenn sich beide Seiten zu überschneiden scheinen, werden die Mengen genauer berechnet, um sicherzustellen, dass es sich bei der Übereinstimmung nicht um einen Zufall oder eine Ungenauigkeit handelt. Wichtig ist, dass es bereits Formeln gibt, mit denen Sie beispielsweise den Wert universeller Konstanten mit beliebiger Genauigkeit berechnen können. Das einzige Hindernis bei der Überprüfung der Übereinstimmung von Seiten ist also die Berechnungszeit.

Vor der Implementierung solcher Algorithmen mussten Mathematiker einen vorhandenen verwenden. mathematische Kenntnisse i Theoremeeine solche Annahme machen. Dank der von Algorithmen generierten automatischen Vermutungen können Mathematiker sie nutzen, um versteckte Theoreme oder „elegantere“ Ergebnisse zu rekonstruieren.

Die bemerkenswerteste Entdeckung der Forscher ist weniger neues Wissen als vielmehr eine neue Annahme von überraschender Bedeutung. Dies erlaubt Berechnung der katalanischen Konstante, eine universelle Konstante, deren Wert in vielen mathematischen Problemen benötigt wird. Die Darstellung als Kettenbruch unter einer neu entdeckten Annahme ermöglicht die bisher schnellsten Berechnungen und übertrifft frühere Formeln, die mehr Computerverarbeitungszeit erforderten. Dies scheint einen neuen Fortschritt für die Informatik zu markieren, verglichen mit der Zeit, als Computer erstmals die Schachspieler besiegten.

Was KI nicht bewältigen kann

Maschinenalgorithmen Wie Sie sehen, gehen sie mit manchen Dingen auf innovative und effektive Weise um. Angesichts anderer Probleme sind sie hilflos. Ein Forscherteam der University of Waterloo in Kanada entdeckte eine Klasse von Problemen bei der Verwendung maschinelles Lernen. Die Entdeckung ist mit einem Paradoxon verbunden, das der österreichische Mathematiker Kurt Gödel Mitte des letzten Jahrhunderts beschrieben hat.

Der Mathematiker Shai Ben-David und sein Team stellten in einer Veröffentlichung in der Zeitschrift Nature ein maschinelles Lernmodell namens Maximal Prediction (EMX) vor. Eine scheinbar einfache Aufgabe erwies sich für künstliche Intelligenz als unmöglich. Vom Team gestelltes Problem Shai Ben-David kommt es darauf an, die profitabelste Werbekampagne vorherzusagen, die auf die Leser ausgerichtet ist, die die Website am häufigsten besuchen. Die Anzahl der Möglichkeiten ist so groß, dass ein neuronales Netzwerk nicht in der Lage ist, eine Funktion zu finden, die das Verhalten von Website-Benutzern korrekt vorhersagt, da ihm nur eine kleine Datenstichprobe zur Verfügung steht.

Es stellt sich heraus, dass einige der Probleme, die neuronale Netze aufwerfen, der Kontinuumshypothese von Georg Cantor entsprechen. Der deutsche Mathematiker bewies, dass die Potenz der Menge der natürlichen Zahlen geringer ist als die Potenz der Menge der reellen Zahlen. Dann stellte er eine Frage, die er nicht beantworten konnte. Er fragte sich nämlich, ob es eine unendliche Menge gibt, deren Kardinalität kleiner als die Kardinalität ist Menge reeller Zahlenaber mehr Leistung Menge natürlicher Zahlen.

Österreichischer Mathematiker des XNUMX. Jahrhunderts. Kurt Gödel bewies, dass die Kontinuumshypothese im aktuellen mathematischen System unentscheidbar ist. Nun stellt sich heraus, dass Mathematiker, die neuronale Netze entwerfen, vor einem ähnlichen Problem stehen.

Obwohl es für uns unsichtbar ist, ist es, wie wir sehen, gegenüber grundlegenden Einschränkungen hilflos. Wissenschaftler fragen sich, ob dies bei Problemen dieser Klasse, wie beispielsweise unendlichen Mengen, der Fall ist.