Warum dividieren wir nicht durch Null?

Die Leser fragen sich vielleicht, warum ich einem so banalen Thema einen ganzen Artikel widme? Der Grund dafür ist die erschreckende Zahl von Studenten (!), die die Operation unter diesem Namen beiläufig durchführen. Und nicht nur Studenten. Manchmal erwische ich auch Lehrer. Was können die Schüler solcher Lehrer in Mathematik? Der unmittelbare Anlass, diesen Text zu schreiben, war ein Gespräch mit einem Lehrer, für den Division durch Null kein Problem war ...

Mit Null ja, bis auf den Aufwand gar nichts, weil wir es im Alltag eigentlich nicht brauchen. Wir gehen nicht für null Eier einkaufen. „Es ist eine Person im Raum“ klingt irgendwie natürlich, und „null Personen“ klingt künstlich. Linguisten sagen, dass die Null außerhalb des Sprachsystems liegt.

Auch bei Bankkonten können wir auf die Null verzichten: Verwenden Sie einfach - wie bei einem Thermometer - Rot und Blau für positive und negative Werte (beachten Sie, dass es für die Temperatur natürlich ist, Rot für positive Zahlen zu verwenden, und für Bankkonten ist umgekehrt, weil die Abbuchung eine Warnung auslösen soll, daher ist Rot sehr zu empfehlen).

Indem wir Null als natürliche Zahl einbeziehen, berühren wir das Problem der Differenzierung Kardinalzahlen od Haushalt. Innerhalb von 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Die Potenz der Zahl ist dieselbe wie die Zahl des Ortes, an dem sie steht. Ansonsten steht es bereits in der Reihenfolge 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ….

Die Anzahl der Singleton-Mengen kommt an zweiter Stelle, die Anzahl der Mengen mit zwei Elementen an dritter Stelle und so weiter. Wir müssen erklären, warum wir zum Beispiel die Plätze der Athleten bei Wettkämpfen nicht von Grund auf nummerieren. Dann erhielt der Erstplatzierte eine Silbermedaille (Gold ging an den Nullplatzierten) usw. Ein etwas ähnliches Verfahren wurde im Fußball angewendet – ich weiß nicht, ob die Leser wissen, dass „Liga eins“ bedeutet „ den Besten folgen." “, und die Zero League wird zur „Major League“ berufen.

Manchmal hören wir das Argument, dass wir bei Null anfangen müssen, weil es für IT-Leute praktisch ist. In Fortsetzung dieser Überlegungen sollte die Definition eines Kilometers geändert werden - es sollte 1024 m sein, da dies die Anzahl der Bytes in einem Kilobyte ist (ich beziehe mich auf einen Witz, der Informatikern bekannt ist: „Was ist der Unterschied zwischen einem Neuling und ein Student der Informatik und ein Student im fünften Jahr dieser Fakultät? dass ein Kilobyte 1000 Kilobyte ist, das letzte - dass ein Kilometer 1024 Meter ist")!

Ein weiterer Gesichtspunkt, der schon ernst genommen werden sollte, ist dieser: Wir messen immer von Grund auf! Es genügt ein Blick auf jede beliebige Skala auf dem Lineal, auf Haushaltswaagen, sogar auf der Uhr. Da wir von Null aus messen und Zählen als Messung mit dimensionsloser Einheit verstanden werden kann, sollten wir von Null aus zählen.

Es ist eine einfache Sache, aber...

Verlassen wir die allgemeine Argumentation und kehren zur Division durch Null zurück. Die Sache ist einfach und es wäre einfach, wenn da nicht ... na und? Denken wir nach und versuchen wir es. Wie viel kann es sein - eins geteilt durch null? Mal sehen: 1/0 = x. Multipliziere beide Seiten mit dem Nenner der linken Seite.

Wir erhalten 1=0. Stimmt etwas nicht! Was ist passiert? Ah, vermute! Die Annahme, dass es einen Quotienten aus Eins und Null gibt, führt zu einem Widerspruch. Und wenn eine Zahl nicht durch Null teilbar ist, dann kann es eine andere Zahl. Wenn Sie, lieber Leser, mit den Schultern zucken und sich fragen, warum der Autor (also ich) über solche Plattitüden schreibt, dann ... das freut mich sehr!

Die Formel 0/0 = 0 ließe sich hartnäckig verteidigen, sie widerspricht jedoch der Regel, dass das Ergebnis der Division einer Zahl durch sich selbst gleich eins ist. Absolut, aber ganz anders sind in der Analysis Symbole wie 0/0, °/° und dergleichen. Sie bedeuten keine Zahl, sondern sind symbolische Bezeichnungen für bestimmte Abfolgen bestimmter Typen.

In einem Buch über Elektrotechnik habe ich einen interessanten Vergleich gefunden: Die Division durch Null ist genauso gefährlich wie Hochspannungsstrom. Das ist normal: Das Ohmsche Gesetz besagt, dass das Verhältnis von Spannung zu Widerstand gleich dem Strom ist: V = U / R. Wenn der Widerstand Null wäre, würde ein theoretisch unendlicher Strom durch den Leiter fließen und alle möglichen Leiter verbrennen.

Ich habe einmal ein Gedicht über die Gefahren der Division durch Null für jeden Wochentag geschrieben. Ich erinnere mich, dass der dramatischste Tag der Donnerstag war, aber es ist schade für all meine Arbeit in diesem Bereich.

Wenn man etwas durch Null dividiert

Sehr früher Montag

Woche, was gerade passiert ist

Du bist bereits kläglich gescheitert.

Wenn Dienstagnachmittag

Sie setzen Null in den Nenner

Dann sage ich dir, du liegst falsch

Schlechter Mathematiker!

Wenn durch Null, durch Perversion,

Ich möchte mich am Mittwoch trennen

Du wirst eine Menge Ärger bekommen

Du hast Heu und Wasser im Kopf!

Ein gewisser Bartek war bei uns.

Er widersprach den Regeln.

Am Donnerstag ist es durch Null teilbar.

Er ist nicht mehr zwischen uns!

Wenn dich ein seltsames Verlangen packt

Teilen Sie am Freitag durch Null

Ich bin ehrlich, ich bin ehrlich:

Schlechter Start in dieses Wochenende.

Wenn es Null ist, irgendwo am Samstag

Der Teiler gehört Ihnen (nicht fett)

Knien Sie unter dem Kirchenzaun.

Das ist deine Auferstehung.

Wollen Sie Null unter dem Armaturenbrett?

Machen Sie am Sonntag einen Feiertag

Bringen Sie Kreide und eine Tafel mit.

Schreiben Sie: Es ist nicht durch Null teilbar!

Null wird mit Leere und Nichts assoziiert. Tatsächlich kam er zur Mathematik als einer Größe, die, wenn man sie zu einer anderen addiert, sie nicht verändert: x + 0 = x. Aber jetzt erscheint Null in mehreren anderen Werten, vor allem als Skalenanfang. Wenn es außerhalb des Fensters weder positive Temperatur noch Frost gibt, dann ... ist dies Null, was nicht bedeutet, dass es überhaupt keine Temperatur gibt. Ein Denkmal der Nullklasse ist kein Denkmal, das schon lange abgerissen wurde und einfach nicht existiert. Im Gegenteil, es ist so etwas wie der Wawel, der Eiffelturm und die Freiheitsstatue.

Nun, die Bedeutung der Null in einem Positionssystem kann kaum überschätzt werden. Wissen Sie, lieber Leser, wie viele Nullen Bill Gates auf seinem Bankkonto hat? Ich weiß es nicht, aber ich hätte gerne die Hälfte. Anscheinend hat Napoleon Bonaparte bemerkt, dass Menschen wie Nullen sind: Sie erhalten Bedeutung durch ihre Position. In Andrzej Wajdas Film As the Years, As the Days Go by explodiert der leidenschaftliche Künstler Jerzy: „Der Spießer ist Null, Nihil, nichts, nichts, Nihil, Null.“ Aber Null kann gut sein: „Null Abweichung von der Norm“ bedeutet, dass alles gut läuft, und weiter so!

Kommen wir zurück zur Mathematik. Null kann ungestraft addiert, subtrahiert und multipliziert werden. „Ich habe null Kilogramm zugenommen“, sagt Manya zu Anya. „Und das ist interessant, weil ich das gleiche Gewicht verloren habe“, antwortet Anya. Also lasst uns sechs Mal sechs Nullportionen Eis essen, es wird uns nicht schaden.

Wir können nicht durch Null dividieren, aber wir können durch Null dividieren. Ein Teller mit Nullknödeln kann problemlos an diejenigen verteilt werden, die auf Essen warten. Wie viel bekommt jeder?

Null ist weder positiv noch negativ. Dies und die Nummer nicht positivи nicht negativ. Es erfüllt die Ungleichungen x≥0 und x≤0. Der Widerspruch „etwas Positives“ ist nicht „etwas Negatives“, sondern „etwas Negatives oder gleich Null“. Entgegen den Regeln der Sprache werden Mathematiker immer sagen, dass etwas „gleich Null“ und nicht „Null“ ist. Um diese Praxis zu rechtfertigen, haben wir: Wenn wir die Formel x = 0 lesen, „x ist Null“, dann lesen wir x = 1, „x ist gleich eins“, was man verschlucken könnte, aber was ist mit „x = 1534267“? Sie können dem Zeichen 0 auch keinen numerischen Wert zuweisen⁰Erhöhen Sie Null auch nicht negativ. Andererseits können Sie nach Belieben Null setzen ... und das Ergebnis wird immer Null sein. 

Exponentialfunktion y = a^x, die positive Basis von a, wird niemals Null. Daraus folgt, dass es keinen Nulllogarithmus gibt. Tatsächlich ist der Logarithmus von a zur Basis b der Exponent, um den die Basis erhöht werden muss, um den Logarithmus von a zu erhalten. Für a = 0 gibt es keinen solchen Indikator und Null kann nicht die Basis des Logarithmus sein. Allerdings ist die Null im „Nenner“ des Newtonschen Symbols etwas anderes. Wir gehen davon aus, dass diese Konventionen nicht zu einem Widerspruch führen.

falsche Beweise

Division durch Null ist ein häufiges Thema für falsche Beweise und kommt selbst erfahrenen Mathematikern vor. Lassen Sie mich Ihnen zwei meiner Lieblingsbeispiele nennen. Der erste ist algebraischer Natur. Ich werde „beweisen“, dass alle Zahlen gleich sind. Angenommen, es gibt zwei Zahlen, die nicht gleich sind. Daher ist einer von ihnen größer als der andere, sei a > b. Nehmen wir an, dass c ihr Unterschied ist

c \uXNUMXd a - b. Also haben wir a - b = c, also a = b + c.

Wir multiplizieren beide Teile des letzteren mit a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Ich übersetze ak auf die linke Seite, natürlich erinnere ich mich an die Änderung des Vorzeichens:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Ich schließe gemeinsame Faktoren aus:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Ich teile und ich habe, was ich wollte:

a = b.

Und eigentlich noch seltsamer, weil ich angenommen habe, dass a > b, und ich habe herausgefunden, dass a = b. Wenn im obigen Beispiel „Schummeln“ leicht zu erkennen ist, dann ist es im geometrischen Beweis unten nicht so einfach. Ich werde beweisen, dass ... das Trapez nicht existiert. Die allgemein als Trapez bezeichnete Figur existiert nicht.

Aber nehmen wir zunächst einmal an, dass es so etwas wie ein Trapez (ABCD in der Abbildung unten) gibt. Es hat zwei parallele Seiten („Basen“). Dehnen wir diese Basen, wie im Bild gezeigt, so dass wir ein Parallelogramm erhalten. Seine Diagonalen teilen die andere Diagonale des Trapezes in Segmente, deren Längen mit x, y, z bezeichnet werden, wie in Figur 1. Aus der Ähnlichkeit der entsprechenden Dreiecke erhalten wir die Proportionen:

wobei wir definieren:

Oraz

wobei wir definieren:

Subtrahieren Sie die mit Sternchen markierten Seiten der Gleichheit:

 Wenn wir beide Seiten um x − z verkürzen, erhalten wir – a/b = 1, was bedeutet, dass a + b = 0. Aber die Zahlen a, b sind die Längen der Basen des Trapezes. Wenn ihre Summe null ist, dann sind sie auch null. Das bedeutet, dass eine Figur wie ein Trapez nicht existieren kann! Und da auch Rechtecke, Rauten und Quadrate Trapeze sind, gibt es, lieber Leser, auch keine Rauten, Rechtecke und Quadrate ...

So wie das

Der Informationsaustausch ist die interessanteste und anspruchsvollste der vier Grundaktivitäten. Hier stoßen wir zum ersten Mal auf ein im Erwachsenenalter so häufiges Phänomen: „Erraten Sie die Antwort und prüfen Sie dann, ob Sie richtig geraten haben.“ Dies bringt Daniel K. Dennett sehr treffend zum Ausdruck („How to Make Mistakes?“, in How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warschau, 1997):

Diese Methode des „Ratens“ beeinträchtigt unser Erwachsenenleben nicht – vielleicht, weil wir sie früh lernen und das Raten nicht schwer ist. Ideologisch gesehen tritt das gleiche Phänomen beispielsweise bei der mathematischen (vollständigen) Induktion auf. An der gleichen Stelle „erraten“ wir die Formel und prüfen dann, ob unsere Vermutung richtig ist. Die Schüler fragen immer: „Woher kannten wir das Muster?“ Wie kann es herausgenommen werden?“ Wenn mir Studenten diese Frage stellen, mache ich daraus einen Witz: „Ich weiß das, weil ich ein Profi bin, weil ich dafür bezahlt werde, es zu wissen.“ Den Schülern in der Schule kann im gleichen Stil, nur ernster, geantwortet werden.

Übung. Beachten Sie, dass wir die Addition und schriftliche Multiplikation mit der niedrigsten Einheit und die Division mit der höchsten Einheit beginnen.

Eine Kombination aus zwei Ideen

Mathematiklehrer haben immer darauf hingewiesen, dass das, was wir Trennung von Erwachsenen nennen, die Vereinigung zweier konzeptionell unterschiedlicher Ideen ist: Gehäuse i Trennung.

Der erste (Gehäuse) tritt in Aufgaben auf, bei denen der Archetyp ist:

Teilen-teilen Dabei handelt es sich um Aufgaben wie:

? (Wir behalten den ursprünglichen Stil dieses Problems bei, der dem 1892 in Krakau veröffentlichten Handbuch von Julian Zgozalewicz entnommen ist - der Złoty ist der rheinische Złoty, die Währung, die in der österreichisch-ungarischen Monarchie bis Anfang des XNUMX. Jahrhunderts im Umlauf war).

Betrachten Sie nun zwei Probleme mit das älteste Mathematiklehrbuch in polnischer Sprache, Vater Tomasz Clos (1538). Ist es ein Division oder ein Coupé? Lösen Sie es so, wie es Schulkinder im XNUMX. Jahrhundert tun sollten:

(Übersetzung aus dem Polnischen ins Polnische: Es gibt einen Liter und vier Töpfe in einem Fass. Ein Topf sind vier Liter. Jemand hat 20 Fässer Wein für 50 zł für den Handel gekauft. Zoll und Steuern (Verbrauchssteuer?) betragen 8 zł. Wie viel zu einen Quart verkaufen, um 8 zł zu verdienen?)

Sport, Physik, Kongruenz

Manchmal muss man im Sport etwas durch Null dividieren (Zielverhältnis). Nun ja, die Richter kommen irgendwie damit zurecht. In der abstrakten Algebra stehen sie jedoch auf der Tagesordnung. Größen ungleich Nulldessen Quadrat Null ist. Es lässt sich sogar einfach erklären.

Betrachten Sie eine Funktion F, die einen Punkt (y, 0) mit einem Punkt in der Ebene (x, y) verknüpft. Was ist F?², das heißt, eine doppelte Ausführung von F? Nullfunktion - jeder Punkt hat ein Bild (0,0).

Schließlich sind von Null verschiedene Größen, deren Quadrat 0 ist, für Physiker fast täglich Brot, und Zahlen der Form a + bε, wobei ε ≠ 0, aber ε² = 0, nennen Mathematiker doppelte Zahlen. Sie kommen in der mathematischen Analysis und in der Differentialgeometrie vor.

Schließlich gibt es in der Arithmetik etwas, das zumindest im Namen eine Division durch Null hat. Es kommt von Kongruenz. Sei Z die Menge der ganzen Zahlen. Das Teilen der Menge Z durch p bedeutet, dass wir jede Zahl (ganze Zahl) einigen anderen gleichsetzen, nämlich denen, durch die ihre Differenz teilbar ist. Wenn wir also fünf Arten von Zahlen haben, die den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4 entsprechen - die möglichen Reste bei der Division durch 5. Die Formel wird wie folgt geschrieben:

mod, wenn die Differenz ein Vielfaches ist.

Für = 2 haben wir nur zwei Zahlen: 0 und 1. Die Einteilung ganzer Zahlen in zwei solcher Klassen ist gleichbedeutend damit, sie in gerade und ungerade zu unterteilen. Ersetzen wir es jetzt. Die Differenz ist immer durch 1 teilbar (jede ganze Zahl ist durch 1 teilbar). Ist es möglich, =0 zu nehmen? Versuchen wir es: Wann ist die Differenz zweier Zahlen ein Vielfaches von Null? Nur wenn diese beiden Zahlen gleich sind. Es macht also Sinn, eine Menge ganzer Zahlen durch Null zu dividieren, ist aber nicht interessant: Es passiert nichts. Allerdings ist zu betonen, dass es sich hierbei nicht um eine Zahlenteilung in dem aus der Grundschule bekannten Sinne handelt.

Solche Aktionen sind einfach verboten, ebenso wie lange und umfangreiche Mathematik.

Reis. 2. Identifizierung von Zahlen durch Vergleich

(Baum 5 und Baum 2)