Reise in die unwirkliche Welt der Mathematik

Ich habe diesen Artikel an einem Mittwoch nach einer Vorlesung und Übung an einer Informatikhochschule geschrieben. Ich wehre mich gegen Kritik an den Schülern dieser Schule, ihrem Wissen, ihrer Einstellung zur Wissenschaft und vor allem: ihren Lernfähigkeiten. Das... niemand bringt es ihnen bei.

Warum bin ich so defensiv? Aus einem einfachen Grund - ich bin in einem Alter, in dem die Welt um uns herum wahrscheinlich noch nicht verstanden ist. Vielleicht bringe ich ihnen bei, Pferde anzuspannen und abzuspannen und kein Auto zu fahren? Vielleicht bringe ich ihnen bei, mit einem Federkiel zu schreiben? Obwohl ich eine bessere Meinung von einer Person habe, betrachte ich mich als „folgend“, aber…

Bis vor kurzem, in der High School, sprachen sie über komplexe Zahlen. Und an diesem Mittwoch kam ich nach Hause, kündigte - fast keiner der Schüler hat noch gelernt, was das ist und wie man diese Zahlen benutzt. Manche schauen auf alle Mathematik wie eine Gans auf eine bemalte Tür. Aber ich war auch wirklich überrascht, als sie mir sagten, wie man lernt. Einfach ausgedrückt, jede Stunde einer Vorlesung sind zwei Stunden Hausaufgaben: ein Lehrbuch lesen, lernen, wie man Probleme zu einem bestimmten Thema löst usw. Nachdem wir uns auf diese Weise vorbereitet haben, kommen wir zu den Übungen, in denen wir alles verbessern ... Erfreulicherweise dachten die Studenten anscheinend, dass das Sitzen in der Vorlesung - meistens mit Blick aus dem Fenster - bereits den Eintritt von Wissen in den Kopf garantiert.

Stoppen! Das ist genug. Ich werde meine Antwort auf eine Frage beschreiben, die ich während eines Kurses mit Stipendiaten des National Children's Fund erhielt, einer Einrichtung, die talentierte Kinder aus dem ganzen Land unterstützt. Die Frage (bzw. der Vorschlag) lautete:

— Können Sie uns etwas über unwirkliche Zahlen erzählen?

„Natürlich“, antwortete ich. 

Die Realität der Zahlen

„Ein Freund ist ein anderes Ich, Freundschaft ist das Verhältnis der Zahlen 220 und 284“, sagte Pythagoras. Der Punkt hier ist, dass die Summe der Teiler der Zahl 220 gleich 284 ist und die Summe der Teiler der Zahl 284 gleich 220 ist:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Beachten Sie übrigens, dass der biblische Jakob Esau 220 Schafe und Widder als Zeichen der Freundschaft schenkte (Genesis 32:14).

Ein weiterer interessanter Zufall zwischen den Zahlen 220 und 284 ist dieser: Die siebzehn höchsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53. und 59.

Ihre Summe beträgt 2x220 und die Summe der Quadrate beträgt 59x284.

Erste. Es gibt kein Konzept der "reellen Zahl". Es ist, als würden Sie nach dem Lesen eines Artikels über Elefanten fragen: „Jetzt fragen wir nach Nicht-Elefanten.“ Es gibt ganz und nicht ganz, rational und irrational, aber es gibt keine unwirklichen. Speziell: Zahlen, die nicht reell sind, werden nicht als ungültig bezeichnet. Es gibt viele Arten von „Zahlen“ in der Mathematik, und sie unterscheiden sich so stark voneinander wie – um einen zoologischen Vergleich zu ziehen – ein Elefant und ein Regenwurm.

Zweitens werden wir Operationen durchführen, von denen Sie vielleicht bereits wissen, dass sie verboten sind: das Ziehen der Quadratwurzeln negativer Zahlen. Nun, die Mathematik wird solche Barrieren überwinden. Ist es trotzdem sinnvoll? Ob eine Theorie für immer in den Wissensspeicher eingeht, hängt in der Mathematik wie in jeder anderen Wissenschaft ... von ihrer Anwendung ab. Wenn es nutzlos ist, dann landet es im Müll, dann in irgendeinem Abfall der Wissensgeschichte. Ohne die Zahlen, über die ich am Ende dieses Artikels spreche, ist es unmöglich, Mathematik zu entwickeln. Aber fangen wir mit ein paar Kleinigkeiten an. Was sind reelle Zahlen, wissen Sie. Sie füllen den Zahlenstrahl dicht und lückenlos aus. Sie wissen auch, was natürliche Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - alle passen nicht hinein Gedächtnis sogar das Größte. Sie haben auch einen schönen Namen: natürlich. Sie haben so viele interessante Eigenschaften. Wie findest Du das:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Es ist selbstverständlich, sich für die natürlichen Zahlen zu interessieren“, sagte Carl Lindenholm, und Leopold Kronecker (1823–1891) brachte es auf den Punkt: „Gott schuf die natürlichen Zahlen – alles andere ist Menschenwerk!“ Brüche (von Mathematikern rationale Zahlen genannt) haben ebenfalls erstaunliche Eigenschaften:

und in Gleichheit:

Sie können von der linken Seite beginnend die Pluspunkte reiben und durch Multiplikationszeichen ersetzen – und die Gleichheit bleibt wahr:

Und so weiter.

Für Brüche a/b, bei denen a und b ganze Zahlen sind und b ≠ 0, heißt es bekanntlich Rationale Zahl. Aber sie nennen sich nur auf Polnisch so. Sie sprechen Englisch, Französisch, Deutsch und Russisch. Rationale Zahl. Auf Englisch: rationale Zahlen. Irrationale Zahlen Es ist irrational, irrational. Wir sprechen auf Polnisch auch über irrationale Theorien, Ideen und Taten – das ist Wahnsinn, Einbildung, unerklärlich. Man sagt, dass Frauen Angst vor Mäusen haben – wie irrational ist das?

In der Antike hatten Zahlen eine Seele. Jedes bedeutete etwas, jedes symbolisierte etwas, jedes spiegelte ein Teilchen dieser Harmonie des Universums wider, das heißt auf Griechisch den Kosmos. Das Wort „Kosmos“ selbst bedeutet „Ordnung, Ordnung“. Die wichtigsten waren Sechs (die perfekte Zahl) und Zehn, die Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen 1+2+3+4, zusammengesetzt aus anderen Zahlen, deren Symbolik bis heute erhalten ist. So lehrte Pythagoras, dass Zahlen der Anfang und die Quelle von allem sind und nur die Entdeckung irrationale Zahlen wandte die pythagoräische Bewegung der Geometrie zu. Wir kennen die Begründung aus der Schule

√2 - irrationale Zahl

Angenommen, es gibt: und dieser Bruch kann nicht reduziert werden. Insbesondere sind sowohl p als auch q ungerade. Quadrieren wir es: 2q²=p². Die Zahl p kann nicht ungerade sein, da dann p² wäre auch, und die linke Seite der Gleichheit ist ein Vielfaches von 2. Daher ist p gerade, d. h. p = 2r, daher p²= 4 Jahre². Wir reduzieren die Gleichung 2q²= 4 Jahre² durch 2. Wir erhalten q²= 2 Jahre² und wir sehen, dass q auch gerade sein muss, und wir haben angenommen, dass dies nicht der Fall ist. Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis - diese Formel findet sich oft in jedem mathematischen Buch. Dieser Indizienbeweis ist ein beliebter Trick der Sophisten.

Diese Unermesslichkeit konnte von den Pythagoräern nicht verstanden werden. Alles muss durch Zahlen beschreibbar sein, und die Diagonale eines Quadrats, die jeder mit einem Stock in den Sand zeichnen kann, hat keine, also messbare Länge. „Unser Glaube war vergeblich“, scheinen die Pythagoräer zu sagen. Wie so? Es ist irgendwie... irrational. Die Union versuchte sich mit sektiererischen Methoden zu retten. Jeder, der es wagt, seine Existenz preiszugeben irrationale Zahlen, sollte mit dem Tod bestraft werden, und offenbar wurde das erste Urteil vom Meister selbst vollstreckt.

Aber „der Gedanke blieb unbeschadet.“ Das goldene Zeitalter ist gekommen. Die Griechen besiegten die Perser (Marathon 490, Plache 479). Die Demokratie wurde gestärkt, neue Zentren philosophischen Denkens und neue Schulen entstanden. Die Anhänger des Pythagoräismus kämpften immer noch mit irrationalen Zahlen. Einige predigten: Wir werden dieses Geheimnis nicht begreifen; wir können nur darüber nachdenken und Uncharted bewundern. Letztere waren pragmatischer und respektierten das Geheimnis nicht. Damals tauchten zwei mentale Konstrukte auf, die es ermöglichten, irrationale Zahlen zu verstehen. Die Tatsache, dass wir sie heute recht gut verstehen, ist Eudoxos (XNUMX. Jahrhundert v. Chr.) zu verdanken, und erst Ende des XNUMX. Jahrhunderts entwickelte der deutsche Mathematiker Richard Dedekind die Theorie von Eudoxos gemäß den Anforderungen der strengen mathematischen Logik gebührend weiter.

Viele Zahlen oder Folter

Könntest du ohne Zahlen leben? Selbst wenn das Leben wäre... Wir müssten in den Laden gehen, um Schuhe mit einem Stock zu kaufen, mit dem wir vorher die Länge des Fußes gemessen haben. „Ich hätte gerne Äpfel, ah, hier ist er!“ – wir würden Verkäufer auf dem Markt zeigen. "Wie weit ist es von Modlin nach Nowy Dwur Mazowiecki"? "Ziemlich knapp!"

Mit Zahlen wird gemessen. Mit ihrer Hilfe drücken wir auch viele andere Konzepte aus. Der Maßstab der Karte zeigt beispielsweise, wie stark die Fläche des Landes abgenommen hat. Eine Skala von zwei zu eins oder einfach 2 drückt aus, dass etwas in der Größe verdoppelt wurde. Sagen wir mal mathematisch: Jede Homogenität entspricht einer Zahl – ihrer Skala.

Aufgabe. Wir haben eine xerografische Kopie erstellt und das Bild mehrmals vergrößert. Dann wurde das vergrößerte Fragment noch einmal b-mal vergrößert. Was ist der allgemeine Vergrößerungsmaßstab? Antwort: a × b multipliziert mit b. Diese Skalen müssen multipliziert werden. Die Zahl minus eins, -1, entspricht einer zentrierten Genauigkeit, also einer Drehung um 180 Grad. Welche Zahl entspricht einer 90-Grad-Drehung? Es gibt keine solche Nummer. Es ist, es ist... oder besser gesagt, es wird bald sein. Bist du bereit für mentale Folter? Seien Sie mutig und ziehen Sie die Quadratwurzel aus minus eins. Ich höre? Was kannst du nicht tun? Schließlich habe ich dir gesagt, du sollst mutig sein. Zieh es raus! Hey, nun, zieh, zieh ... Ich helfe ... Hier: −1 Jetzt, wo wir es haben, versuchen wir es zu verwenden ... Natürlich können wir jetzt die Wurzeln aller negativen Zahlen ziehen, z Beispiel.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Unabhängig von der seelischen Qual, die es mit sich bringt." So schrieb Girolamo Cardano im Jahr 1539, als er versuchte, die mentalen Schwierigkeiten zu überwinden, die damit verbunden waren - wie es bald genannt wurde - imaginäre Größen. Er dachte so...

...Aufgabe. Teilen Sie 10 in zwei Teile, deren Produkt 40 ist. Ich erinnere mich, dass er aus der vorherigen Folge so etwas geschrieben hat: Sicherlich unmöglich. Lassen Sie uns jedoch Folgendes tun: Teilen Sie 10 in zwei gleiche Teile, von denen jeder gleich 5 ist. Multiplizieren Sie sie - es stellte sich 25 heraus. Von den resultierenden 25 subtrahieren Sie jetzt 40, wenn Sie möchten, und Sie erhalten -15. Nun schau: √-15 addiert und subtrahiert von 5 ergibt das Produkt von 40. Das sind die Zahlen 5-√-15 und 5 + √-15. Die Verifizierung des Ergebnisses wurde von Cardano wie folgt durchgeführt:

„Unabhängig vom Kummer, den es mit sich bringt, multipliziere 5 + √-15 mit 5-√-15. Wir erhalten 25 - (-15), was 25 + 15 entspricht. Das Produkt ist also 40 .... Es ist wirklich schwierig."

Nun, wie viel ist es: (1 + √-1) (1-√-1)? Lasst uns multiplizieren. Denken Sie daran, dass √-1 × √-1 = -1. Großartig. Nun ein schwierigeres Problem: von a + b√-1 nach ab√-1. Was ist passiert? Natürlich so: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Was ist daran so interessant? Zum Beispiel die Tatsache, dass wir Ausdrücke faktorisieren können, die wir „vorher nicht kannten“. Abgekürzte Multiplikationsformel für²-b² Sie erinnern sich wahrscheinlich an die Formel für²+b² es ist nicht passiert, weil es nicht passieren konnte. Im Bereich der reellen Zahlen das Polynom²+b² das ist unvermeidlich. Bezeichnen wir „unsere“ Quadratwurzel von „minus eins“ mit dem Buchstaben i.²= -1. Dies ist eine „unwirkliche“ Primzahl. Und das ist es, was ein Flugzeug beschreibt, das sich um 90 Grad dreht. Warum? Schließlich,²= -1, und die Kombination einer 90-Grad-Drehung und einer weiteren 180-Grad-Drehung ergibt eine 45-Grad-Drehung. Welche Rotationsart wird beschrieben? Offensichtlich eine XNUMX-Grad-Wende. Was bedeutet das -i? Es ist etwas komplizierter:

(-ICH)² = -i × (-i) = + i² = -1

-i beschreibt also auch eine 90-Grad-Drehung, genau in die entgegengesetzte Richtung zur Drehung von i. Welches ist links und welches ist rechts? Sie müssen einen Termin vereinbaren. Wir gehen davon aus, dass die Zahl i die Drehung in die Richtung angibt, die Mathematiker als positiv betrachten: gegen den Uhrzeigersinn. Die Zahl -i beschreibt die Drehung in die Richtung, in die sich die Zeiger bewegen.

Aber gibt es Zahlen wie i und -i? Sind! Wir haben sie einfach zum Leben erweckt. Ich höre? Dass sie nur in unseren Köpfen existieren? Nun, was ist zu erwarten? Auch alle anderen Zahlen existieren nur in unserem Kopf. Wir müssen sehen, ob die Anzahl unserer Neugeborenen überleben wird. Genauer gesagt: Ist das Design logisch und werden sie für etwas nützlich sein? Bitte glauben Sie mir, dass alles in Ordnung ist und dass diese neuen Zahlen wirklich hilfreich sind. Zahlen wie 3+i, 5-7i, in einer allgemeineren Form: a+bi, werden komplexe Zahlen genannt. Ich habe dir gezeigt, wie du sie durch Drehen des Flugzeugs erhalten kannst. Sie können auf unterschiedliche Weise eingegeben werden: als Punkte einer Ebene, als bestimmte Polynome, als bestimmte Zahlenfelder ... und jedes Mal sind sie gleich: Gleichung x² +1=0 Es gibt kein Element... Hokuspokus existiert bereits!!!! Lasst uns jubeln und jubeln!!!

Ende der Tour

Damit endet unsere erste Tour durch das Land der gefälschten Zahlen. Von den anderen überirdischen Zahlen möchte ich auch diejenigen erwähnen, die unendlich viele Ziffern vorne und nicht hinten haben (sie heißen 10-adisch, für uns sind p-adisch wichtiger, wobei p eine Primzahl ist), zum Beispiel X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Zählen wir bitte X². Als? Was wäre, wenn wir das Quadrat einer Zahl berechnen würden, hinter der unendlich viele Ziffern stehen? Nun, lasst uns das Gleiche tun. Finden wir heraus, dass X² = H.

Suchen wir eine weitere solche Zahl mit unendlich vielen Ziffern davor, die die Gleichung erfüllt. Hinweis: Das Quadrat einer Zahl, die mit sechs endet, endet auch mit sechs. Das Quadrat einer Zahl, die mit 76 endet, endet ebenfalls mit 76. Das Quadrat einer Zahl, die mit 376 endet, endet ebenfalls mit 376. Das Quadrat einer Zahl, die mit 9376 endet, endet ebenfalls mit 9376. Das Quadrat einer Zahl, die mit XNUMX endet... Es gibt auch Zahlen, die so klein sind, dass sie, obwohl sie positiv sind, kleiner bleiben als jede andere positive Zahl. Sie sind so klein, dass es manchmal ausreicht, sie zu quadrieren, um Null zu erhalten. Es gibt Zahlen, die die Bedingung a × b = b × a nicht erfüllen. Es gibt auch unendlich viele Zahlen. Wie viele natürliche Zahlen gibt es? Unendlich viele? Ja, aber wie viel? In welcher Zahl lässt sich das ausdrücken? Antwort: die kleinste der unendlichen Zahlen; es ist mit einem schönen Buchstaben gekennzeichnet: A und ergänzt durch einen Nullindex A₀ , Aleph-Null.

Es gibt auch Zahlen, von denen wir nicht wissen, dass sie existieren ... oder an die wir nach Belieben glauben oder nicht glauben können. Apropos: Ich hoffe, dass Ihnen Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers immer noch gefällt.