Artikel über nichts

Als Kind hat mich die wohl vielen Lesern bekannte Geschichte über „Suppe am Nagel“ fasziniert. Meine Großmutter (geboren im XNUMX. Jahrhundert) erzählte mir dies in der Version „Der Kosak kam und bat um Wasser, weil er einen Nagel hat und darauf Suppe kochen wird.“ Die neugierige Gastgeberin gab ihm einen Topf Wasser… und wir wissen, was dann passierte: „Die Suppe sollte salzig sein, daitye, Oma, Salz“, dann wusch er das Fleisch „um den Geschmack zu verbessern“ und so weiter. Am Ende warf er den „gekochten“ Nagel weg.

In diesem Artikel sollte es also um die Leere des Weltraums gehen – und hier geht es um die Landung eines europäischen Apparats auf dem Kometen 67P / Churyumov-Gerasimenko am 12. November 2014. Doch beim Schreiben erlag ich einer langjährigen Gewohnheit, Ich bin immer noch Mathematiker. Wie ist es mit Wieс Null Mathematik?

Wie existiert Nichts?

Man kann nicht sagen, dass nichts existiert. Es existiert zumindest als philosophischer, mathematischer, religiöser und völlig umgangssprachlicher Begriff. Null ist eine gewöhnliche Zahl, null Grad auf einem Thermometer ist auch eine Temperatur und ein Nullsaldo in einer Bank ist ein unangenehmes, aber häufiges Ereignis. Beachten Sie, dass es in der Chronologie kein Nulljahr gibt. Dies liegt daran, dass die Null erst im Spätmittelalter in die Mathematik eingeführt wurde, später als in der vom Mönch Dionysius vorgeschlagenen Chronologie (XNUMX. Jahrhundert).

Seltsamerweise könnten wir tatsächlich auf diese Null und damit auf negative Zahlen verzichten. In einem der Logiklehrbücher habe ich eine Übung gefunden: Zeichnen oder sagen Sie, wie Sie sich die Abwesenheit von Fischen vorstellen. Erstaunlich, nicht wahr? Jeder kann einen Fisch zeichnen, aber keiner?

Nun kurz Grundkurs Mathematik. Der leeren Menge, die mit einem durchgestrichenen Kreis ∅ markiert ist, das Existenzprivileg zu gewähren, ist ein notwendiges Verfahren, analog zum Addieren von Nullen zur Zahlenmenge. Die leere Menge ist die einzige Menge, die keine Elemente enthält. Solche Sammlungen:

Aber es gibt keine zwei verschiedenen leeren Mengen. Die leere Menge ist in jeder anderen Menge enthalten:

Tatsächlich besagen die Regeln der mathematischen Logik, dass Menge A genau dann in Menge B enthalten ist, wenn der Satz:

es beinhaltet

Im Fall der leeren Menge ∅ ist die Aussage immer falsch, und somit ist die Implikation nach den Gesetzen der Logik im Allgemeinen wahr. Alles beruht auf einer Lüge („hier werde ich einen Kaktus züchten, wenn du in die nächste Klasse gehst ...“). Da also die leere Menge in jeder der anderen enthalten ist, wäre jede von ihnen in der anderen enthalten, wenn es sich um zwei verschiedene handelte. Wenn jedoch zwei Mengen ineinander enthalten sind, sind sie gleich. Deshalb: Es gibt nur ein leeres Set!

Das Postulat der Existenz einer leeren Menge widerspricht keinem Gesetz der Mathematik. Warum also nicht es in die Praxis umsetzen? Das philosophische Prinzip namensOckhams Rasiermesser» Eine Anordnung, unnötige Konzepte auszuschließen, aber genau richtig Das Konzept einer leeren Menge ist in der Mathematik sehr nützlich. Beachten Sie, dass die leere Menge eine Dimension von -1 (minus eins) hat – nulldimensionale Elemente sind Punkte und ihre dünn besetzten Systeme, eindimensionale Elemente sind Linien, und wir haben im Kapitel über Fraktale über sehr komplexe mathematische Elemente mit fraktaler Dimension gesprochen .

Es ist interessant, dass das gesamte Gebäude der Mathematik: Zahlen, Zahlen, Funktionen, Operatoren, Integrale, Differentiale, Gleichungen ... aus einem Konzept abgeleitet werden kann - einer leeren Menge! Es genügt die Annahme, dass eine leere Menge vorliegt, um die neu erstellten Elemente zu Mengen zusammenfassen zu können Bauen Sie die ganze Mathematik auf. So konstruierte der deutsche Logiker Gottlob Frege die natürlichen Zahlen. Null ist eine Klasse von Mengen, deren Elemente in gegenseitiger Korrespondenz mit den Elementen der leeren Menge stehen. Eine davon ist eine Klasse von Mengen, deren Elemente in gegenseitiger Korrespondenz mit den Elementen einer Menge stehen, deren einziges Element die leere Menge ist. Zwei ist eine Klasse von Mengen, deren Elemente eins zu eins sind, wobei die Elemente der Menge aus der leeren Menge und der Menge bestehen, deren einziges Element die leere Menge ist ... und so weiter. Auf den ersten Blick scheint das etwas sehr Kompliziertes zu sein, in Wirklichkeit ist es das aber nicht.

Blau breitete sich über mir aus

roch nach Heidekraut und duftete nach Minze...

Wojciech Mlynarski, Erntemädchen

Es ist schwer vorstellbar

Nichts ist schwer vorstellbar. In Stanisław Lems Geschichte „Wie die Welt gerettet wurde“ baute der Designer Trurl eine Maschine, die alles konnte, angefangen mit einem Buchstaben. Als Klapaucius den Bau befahl klare Auswahlbegann die Maschine, verschiedene Objekte aus der Welt zu entfernen – mit dem ultimativen Ziel, alles zu entfernen. Als der verängstigte Klapaucius das Auto anhielt, waren Galeeren, Eiben, Hänger, Hacken, Reime, Schlägel, Puffs, Schleifer, Spieße, Philidrons und Frosts für immer von der Welt verschwunden. Und tatsächlich, sie sind für immer verschwunden ...

Józef Tischner hat in seiner Geschichte der Bergphilosophie sehr gut über das Nichts geschrieben. In meinem letzten Urlaub habe ich beschlossen, dieses Nichts zu erleben, nämlich in die Torfmoore zwischen Nowy Targ und Jabłonka in Podhale zu gehen. Dieses Gebiet wird sogar Pustachia genannt. Du gehst, du gehst, aber die Straße nimmt nicht ab - natürlich in unserem bescheidenen polnischen Maßstab. Eines Tages nahm ich einen Bus in der kanadischen Provinz Saskatchewan. Draußen war ein Maisfeld. Ich habe eine halbe Stunde geschlafen. Als ich aufwachte, fuhren wir durch dasselbe Maisfeld ... Aber Moment mal, ist das leer? In gewissem Sinne ist die Abwesenheit von Veränderung nur Leere.

Wir sind an die ständige Anwesenheit verschiedener Objekte um uns herum und von dort aus gewöhnt Etwas Du kannst nicht einmal mit geschlossenen Augen weglaufen. „Ich denke, also bin ich“, sagte Descartes. Wenn ich schon etwas gedacht habe, dann existiere ich, was bedeutet, dass es zumindest etwas auf der Welt gibt (nämlich ich). Existiert das, was ich dachte? Darüber lässt sich diskutieren, aber in der modernen Quantenmechanik ist das Heisenberg-Prinzip bekannt: Jede Beobachtung stört den Zustand des beobachteten Objekts. Bis wir es sehen klare Auswahl es existiert nicht, und wenn wir anfangen zu suchen, hört das Objekt auf zu existieren Wie und es wird Etwas. Es wird langsam absurd Anthropisches Prinzip: Es hat keinen Sinn zu fragen, wie die Welt wäre, wenn es uns nicht gäbe. Die Welt ist, wie sie uns erscheint. Vielleicht sehen andere Wesen die Erde als eckig?

Ein Positron (so ein positives Elektron) ist ein Loch im Raum, „es gibt kein Elektron“. Beim Vernichtungsprozess springt das Elektron in dieses Loch und „es passiert nichts“ – es gibt kein Loch, kein Elektron. Ich werde viele Witze über Löcher im Schweizer Käse auslassen („je mehr ich habe, desto weniger da ...“). Schon der berühmte Komponist John Cage hatte seine Ideen so weit verwertet, dass er ein Musikstück (?) komponierte (?), in dem das Orchester 4 Minuten 33 Sekunden bewegungslos dasitzt und natürlich nichts spielt. „Vier Minuten und dreiunddreißig Sekunden sind zweihundertdreiundsiebzig, 273, und minus 273 Grad ist der absolute Nullpunkt, an dem alle Bewegungen aufhören“, erklärte der Komponist (?).

Filtern Sie auf Null, nichts, Nick, Nick, nichts, Null!

Jerzy in Andrzej Wajdas Film Over the Years,

Tage vergehen"

Wie wäre es mit allen?

Viele Menschen (vom einfachen Bauern bis zum prominenten Philosophen) wunderten sich über das Phänomen der Existenz. In der Mathematik ist die Situation einfach: Es gibt etwas, das konsistent ist.

Sie verschwand in den Randfeldern

In Kornblumen, Unkraut und Löwenmaul ...

Nun ja, solche Dinge passieren

Besonders in der Ernte und während der Ernte

besonders…

Wojciech Mlynarski, Erntemädchen

Alles ist das andere Extrem von Nichts. In der Mathematik wissen wir das Alles existiert nicht. Nur eine viel zu ungenaue Vorstellung, dass seine Existenz frei von Kontroversen sein würde. Dies lässt sich am Beispiel des alten Paradoxons verstehen: „Wenn Gott allmächtig ist, erschaffe dann einen Stein zum Aufheben?“ Der mathematische Beweis, dass es nicht Mengen aller Mengen geben kann, basiert auf dem Satz Sänger-Bershtein, was besagt, dass „eine unendliche Zahl“ (mathematisch: Kardinalzahl) Die Menge aller Mitglieder einer gegebenen Menge ist größer als die Anzahl der Elemente dieser Menge.

Wenn eine Menge Elemente hat, dann hat sie 2ⁿ Teilmengen; Wenn beispielsweise = 3 und die Menge aus {1, 2, 3} besteht, dann existieren die folgenden Teilmengen:

• drei Zwei-Elemente-Mengen: In jeder von ihnen fehlt eine der Zahlen 1, 2, 3,
• ein leerer Satz,
• drei Ein-Element-Sets,
• die ganze Menge {1,2,3}

– nur acht, 2³Und Leser, die gerade ihren Schulabschluss gemacht haben, möchte ich an die entsprechende Formel erinnern:

Jedes der Newtonschen Symbole in dieser Formel bestimmt die Anzahl der k-Elementmengen in der -Elementmenge.

In der Mathematik tauchen Binomialkoeffizienten an vielen anderen Stellen auf, beispielsweise in interessanten Formeln für die reduzierte Multiplikation:

und aufgrund ihrer genauen Form ist ihre gegenseitige Abhängigkeit viel interessanter.

Es ist schwer zu verstehen, was - soweit es Logik und Mathematik betrifft - Alles ist und was nicht. Argumente für die Nichtexistenz Genauso wie das von Winnie the Pooh, der seinen Gast Tiger höflich fragte, mögen Tiger überhaupt Honig, Eicheln und Disteln? „Tiger mögen alles“, antwortete der, woraus Kubus schloss, dass, wenn sie alles mögen, sie auch gerne auf dem Boden schlafen, deshalb kann er, Vinnie, wieder ins Bett gehen.

Ein weiteres Argument Russells Paradoxon. Es gibt einen Friseur in der Stadt, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich? Beide Antworten widersprechen der aufgestellten Bedingung, dass nur diejenigen abgeschlachtet werden, die es nicht selbst tun.

Auf der Suche nach einer Sammlung aller Sammlungen

Abschließend werde ich einen cleveren, aber äußerst mathematischen Beweis dafür liefern, dass es keine Menge aller Mengen gibt (nicht zu verwechseln).

Zunächst werden wir zeigen, dass es für jede nichtleere Menge X unmöglich ist, eine für beide Seiten eindeutige Funktion zu finden, die diese Menge auf die Menge ihrer Teilmengen P(X) abbildet. Nehmen wir also an, dass diese Funktion existiert. Bezeichnen wir es mit dem traditionellen f. Was ist f von x? Dies ist eine Sammlung. Gehört xf zu x? Dies ist unbekannt. Entweder du musst es tun oder nicht. Aber für ein x muss es immer noch so sein, dass es nicht zu f von x gehört. Nun, dann betrachten wir die Menge aller x, für die x nicht zu f(x) gehört. Bezeichnen Sie sie (diese Menge) mit A. Sie entspricht einem Element a der Menge X. Gehört a zu A? Nehmen wir an, Sie sollten es tun. Aber A ist eine Menge, die nur die Elemente von x enthält, die nicht zu f(x) gehören ... Nun, vielleicht gehört sie nicht zu A? Aber die Menge A enthält alle Elemente dieser Eigenschaft und damit auch A. Ende des Beweises.

Wenn es also eine Menge aller Mengen gäbe, wäre sie selbst eine Teilmenge von sich selbst, was nach der vorherigen Argumentation unmöglich ist.

Puh, ich glaube nicht, dass viele Leser diesen Beweis gesehen haben. Ich habe es vielmehr angesprochen, um zu zeigen, was Mathematiker am Ende des XNUMX. Jahrhunderts tun mussten, als sie begannen, die Grundlagen ihrer eigenen Wissenschaft zu studieren. Es stellte sich heraus, dass die Probleme dort liegen, wo niemand sie erwartet hatte. Darüber hinaus spielen für die gesamte Mathematik diese Überlegungen zu den Grundlagen keine Rolle: egal was in den kellern passiert - das ganze gebäude der mathematik steht auf festem felsen.

Mittlerweile ganz oben...

Wir bemerken eine weitere Moral aus den Geschichten von Stanislav Lem. Auf einer seiner Reisen erreichte Iyon Tichi einen Planeten, dessen Bewohner nach langer Evolution endlich die höchste Entwicklungsstufe erreichten. Sie sind alle stark, sie können alles, sie haben alles zur Hand … und sie tun nichts. Sie legen sich auf den Sand und schütten ihn zwischen ihren Fingern aus. „Wenn alles möglich ist, lohnt es sich nicht“, erklären sie dem schockierten Ijon. Lass das unserer europäischen Zivilisation nicht passieren...