Also an wen, das heißt: PROBIEREN SIE, WO SIE KÖNNEN - Teil 2
In der vorherigen Folge haben wir uns mit Sudoku beschäftigt, einem Rechenspiel, bei dem Zahlen grundsätzlich nach bestimmten Regeln auf verschiedenen Diagrammen angeordnet werden. Die gebräuchlichste Variante ist ein 9x9-Schachbrett, das weiter in neun 3x3-Felder unterteilt ist. Darauf müssen die Zahlen von 1 bis 9 so eingestellt werden, dass sie sich weder in einer vertikalen Reihe (Mathematiker sagen: in einer Spalte) noch in einer horizontalen Reihe (Mathematiker sagen: in einer Reihe) wiederholen – und außerdem so dass sie sich nicht wiederholen. Wiederholen Sie dies innerhalb eines kleineren Quadrats.
Na Feige. 1 Wir sehen dieses Rätsel in einer einfacheren Version, nämlich einem 6 × 6-Quadrat, geteilt in 2 × 3-Rechtecke. Wir fügen die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 hinein – so dass sie sich auch nicht vertikal wiederholen horizontal noch in jedem der ausgewählten Sechsecke.
Versuchen wir es im oberen Quadrat. Können Sie es mit Zahlen von 1 bis 6 gemäß den für dieses Spiel festgelegten Regeln ausfüllen? Es ist möglich - aber mehrdeutig. Mal sehen - zeichne links ein Quadrat oder rechts ein Quadrat.
Man könnte sagen, dass dies keine Grundlage für ein Rätsel ist. Wir gehen normalerweise davon aus, dass ein Rätsel eine Lösung hat. Die Aufgabe, verschiedene Grundlagen für ein „großes“ Sudoku, 9x9, zu finden, ist eine schwierige Aufgabe und es gibt keine Chance, sie vollständig zu lösen.
Ein weiterer wichtiger Zusammenhang ist das widersprüchliche System. Das untere mittlere Quadrat (das mit der Nummer 2 in der unteren rechten Ecke) kann nicht ausgefüllt werden. Warum?
Spaß und Rückzugsmöglichkeiten
Lass uns weiterspielen. Nutzen wir die Intuition der Kinder. Sie glauben, dass Unterhaltung der Einstieg in das Lernen ist. Lass uns in den Weltraum gehen. inbegriffen Feige. 2 Jeder sieht das Gitter Tetraederaus Bällen, etwa Tischtennisbällen? Erinnern wir uns an den Geometrieunterricht in der Schule. Die Farben auf der linken Seite des Bildes erklären, worauf beim Zusammenbau des Blocks geklebt wird. Insbesondere werden die drei Eckkugeln (rot) zu einer zusammengeklebt. Daher müssen sie die gleiche Nummer enthalten. Vielleicht 9. Warum? Und warum nicht?
Oh, ich habe es nicht formuliert задачи. Es klingt ungefähr so: Ist es möglich, die Zahlen von 0 bis 9 in ein sichtbares Raster einzupassen, sodass jede Kante alle Zahlen enthält? Die Aufgabe ist nicht schwer, erfordert aber viel Fantasie! Ich werde den Lesern den Spaß nicht verderben und keine Lösung anbieten.
Das ist eine sehr schöne und unterschätzte Form regelmäßiges Oktaeder, gebaut aus zwei Pyramiden (=Pyramiden) mit quadratischer Grundfläche. Wie der Name schon sagt, hat das Oktaeder acht Flächen.
Ein Oktaeder hat sechs Ecken. Das widerspricht Würfeldie sechs Flächen und acht Ecken hat. Die Kanten beider Klumpen sind gleich - jeweils zwölf. Das doppelte Feststoffe - Dies bedeutet, dass wir durch Verbinden der Mittelpunkte der Flächen des Würfels ein Oktaeder erhalten und die Mittelpunkte der Flächen des Oktaeders einen Würfel ergeben. Diese beiden Unebenheiten funktionieren ("weil sie müssen") Eulers Formel: Die Summe der Anzahl der Scheitelpunkte und der Anzahl der Flächen ist 2 mehr als die Anzahl der Kanten.
3. Ein regelmäßiges Oktaeder in Parallelprojektion und ein Oktaedergitter, das so aus Kugeln zusammengesetzt ist, dass jede Kante vier Kugeln hat.
Aufgabe 1. Schreiben Sie zunächst den letzten Satz des vorherigen Absatzes mit einer mathematischen Formel. An Feige. 3 Sie sehen ein oktaedrisches Netzwerk, das ebenfalls aus Kugeln besteht. An jeder Kante befinden sich vier Kugeln. Jedes Gesicht ist ein Dreieck aus zehn Kugeln. Die Aufgabe wird unabhängig gestellt: Ist es möglich, Zahlen von 0 bis 9 in die Kreise des Gitters einzutragen, so dass nach dem Zusammenkleben eines festen Körpers jede Wand alle Zahlen enthält (also ohne Wiederholung)? Nach wie vor besteht die größte Herausforderung bei diesem Problem darin, wie sich das Netz in einen Feststoff verwandelt. Ich kann dies nicht schriftlich erklären, daher gebe ich hier auch keine Lösung.
4. Zwei Ikosaeder aus Tischtennisbällen. Beachten Sie die unterschiedliche Farbgebung.
bereits Plato (und er lebte im XNUMX.-XNUMX. Jahrhundert v. Chr.) kannte alle regelmäßigen Polyeder: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder i Ikosaeder. Es ist erstaunlich, wie er dorthin gekommen ist – kein Bleistift, kein Papier, kein Stift, keine Bücher, kein Smartphone, kein Internet! Ich werde hier nicht über das Dodekaeder sprechen. Aber das Ikosaeder-Sudoku ist interessant. Wir sehen diesen Klumpen an Abbildung 4und sein Netzwerk weiter Abb. 5.
5. Regelmäßiges Ikosaedernetz.
Nach wie vor handelt es sich hierbei nicht um ein Raster in dem Sinne, wie wir es (?!) aus der Schule kennen, sondern um eine Art, Dreiecke aus Kugeln (Kugeln) zusammenzukleben.
Aufgabe 2. Wie viele Kugeln werden benötigt, um ein solches Ikosaeder zusammenzusetzen? Ist die folgende Überlegung noch richtig: Da jede Fläche ein Dreieck ist, sind bei 20 Flächen bis zu 60 Kugeln erforderlich?
6. Ikosaeder-Kugelnetz. Jeder Kreis stellt beispielsweise einen Tischtennisball dar, aber der Aufbau von Kreisen auf einem Kreis, markiert mit der gleichen Farbe, fügt sich zu einem Ganzen zusammen. Wir haben also zwölf Kugeln (= zwölf Eckpunkte: Rot, Blau, Lila, Blau und acht Gelb).
Es ist leicht zu erkennen, dass drei Zahlen im Ikosaeder nicht ausreichen. Genauer gesagt: Es ist unmöglich, die Eckpunkte mit den Nummern 1, 2, 3 zu nummerieren, sodass jede (dreieckige) Fläche diese drei Nummern hat und es keine Wiederholungen gibt. Ist das mit vier Zahlen möglich? Ja, es ist möglich! Werfen wir einen Blick darauf Reis. 6 und 7.
7. So nummerieren Sie die Kugeln, aus denen das Ikosaeder besteht, sodass jede Fläche andere Zahlen als 1, 2, 3, 4 enthält. Welcher der Körper in Abb. 4 so gefärbt?
Aufgabe 3. Drei der vier Zahlen können auf vier Arten gewählt werden: 123, 124, 134, 234. Finden Sie fünf solcher Dreiecke im Ikosaeder in Abb. 7 (und auch von Illustrationen 4).
4-Job (erfordert sehr gutes räumliches Vorstellungsvermögen). Das Ikosaeder hat zwölf Eckpunkte, das heißt, es kann aus zwölf Kugeln zusammengeklebt werden (Feige. 7). Beachten Sie, dass es drei Scheitelpunkte (= Kugeln) mit der Bezeichnung 1, drei mit der Bezeichnung 2 usw. gibt. Somit bilden gleichfarbige Kugeln ein Dreieck. Was ist das für ein Dreieck? Vielleicht gleichseitig? Schau nochmal Illustrationen 4.
Die nächste Aufgabe ist für Großeltern und Enkel. Auch Eltern können es endlich versuchen, brauchen aber Geduld und Zeit.
Aufgabe 5. Kaufen Sie zwölf (oder besser noch 24) Tischtennisbälle, etwas Farbe in vier Farben, einen Pinsel und den Kleber, den Sie brauchen – ich empfehle keine schnellen Bälle wie Super Glue oder Droplet, weil sie zu schnell trocknen und für Kinder gefährlich sind. Kleben Sie das Ikosaeder. Ziehen Sie Ihrer Enkelin ein T-Shirt an, das direkt danach gewaschen (oder weggeworfen) wird. Decken Sie den Tisch mit Folie (vorzugsweise Zeitungspapier) ab. Färben Sie das Ikosaeder sorgfältig mit den vier Farben 1, 2, 3, 4, wie in Abb. Feige. 7. Sie können die Reihenfolge ändern - zuerst die Ballons färben und dann kleben. Gleichzeitig müssen winzige Kreise unbemalt bleiben, damit die Farbe nicht an der Farbe haftet.
Jetzt die schwierigste Aufgabe (oder besser gesagt ihre gesamte Reihenfolge).
6-Job (genauer gesagt ein allgemeines Thema). Konstruieren Sie Ikosaeder wie Tetraeder und Oktaeder Reis. 2 und 3 Das bedeutet, dass sich an jeder Kante vier Kugeln befinden sollten. Bei dieser Variante ist die Aufgabe sowohl zeitaufwändig als auch kostenintensiv. Beginnen wir damit, herauszufinden, wie viele Bälle Sie benötigen. Jedes Gesicht hat zehn Kugeln, also braucht das Ikosaeder zweihundert? Nein! Wir dürfen nicht vergessen, dass viele Bälle geteilt werden. Wie viele Kanten hat ein Ikosaeder? Sie lässt sich mühsam berechnen, aber wozu dient die Euler-Formel?
w–k+s=2
wobei w, k, s die Anzahl der Eckpunkte, Kanten bzw. Flächen sind. Wir erinnern uns, dass w = 12, s = 20, was k = 30 bedeutet. Wir haben 30 Kanten des Ikosaeders. Sie können es auch anders machen, denn wenn es 20 Dreiecke gibt, dann haben sie nur 60 Kanten, aber zwei davon sind gemeinsam.
Zählen wir, wie viele Bälle benötigt werden. Jedes Dreieck hat nur eine innere Kugel – weder an der Oberseite unseres Körpers noch am Rand. Somit haben wir nur 20 solcher Bälle. Es gibt 12 Gipfel. Jede Kante hat zwei Kugeln, die keine Scheitelpunkte sind (sie befinden sich innerhalb der Kante, aber nicht innerhalb der Fläche). Da es 30 Kanten gibt, gibt es 60 Kugeln, aber zwei davon sind üblich, was bedeutet, dass Sie nur 30 Kugeln benötigen, also insgesamt 20 + 12 + 30 = 62 Kugeln. Bälle gibt es für mindestens 50 Groschen (meist mehr) zu kaufen. Wenn man die Kosten für den Kleber hinzurechnet, kommt man auf ... viel. Eine gute Verklebung erfordert mehrere Stunden mühevoller Arbeit. Alles in allem eignen sie sich für einen entspannten Zeitvertreib – ich empfehle sie statt beispielsweise Fernsehen.
Exkurs 1. In Andrzej Wajdas Filmreihe „By the Years, by the Days“ spielen zwei Männer Schach, „weil sie sich die Zeit bis zum Mittagessen irgendwie vertreiben müssen.“ Dies findet im galizischen Krakau statt. Tatsächlich: Zeitungen wurden bereits gelesen (damals waren sie 4 Seiten), Fernsehen und Telefon sind noch nicht erfunden, es gibt keine Fußballspiele. Langeweile in Pfützen. In einer solchen Situation haben sich die Leute Unterhaltung ausgedacht. Heute haben wir sie nach dem Drücken der Fernbedienung...
Exkurs 2. Bei einem Treffen der Vereinigung der Mathematiklehrer im Jahr 2019 stellte ein spanischer Professor ein Computerprogramm vor, mit dem massive Wände in jeder beliebigen Farbe gestrichen werden können. Es war ein wenig gruselig, weil sie nur die Hände gezogen und den Körper fast abgetrennt hätten. Ich dachte mir: Wie viel Spaß kann einem diese Art des „Malens“ bereiten? Alles dauert zwei Minuten und in der vierten erinnern wir uns an nichts mehr. In der Zwischenzeit beruhigt und erzieht altmodisches „Handwerk“. Wer nicht glaubt, soll es versuchen.
Kehren wir zum XNUMX. Jahrhundert und zu unserer Realität zurück. Wenn wir keine Entspannung in Form eines arbeitsintensiven Zusammenklebens von Kugeln wollen, dann zeichnen wir zumindest ein Ikosaedernetz, dessen Kanten vier Kugeln haben. Wie kann man das machen? Richtig zerbröseln Abb. 6. Der aufmerksame Leser kann das Problem bereits erahnen:
Aufgabe 7. Ist es möglich, die Kugeln mit Zahlen von 0 bis 9 zu nummerieren, sodass sich alle diese Zahlen auf jeder Seite eines solchen Ikosaeders befinden?
Wofür werden wir bezahlt?
Heutzutage fragen wir uns oft nach dem Zweck unserer Aktivitäten, und der „graue Steuerzahler“ wird fragen, warum er Mathematiker bezahlen soll, um solche Rätsel zu lösen?
Die Antwort ist ganz einfach. Solche „Rätsel“ sind an sich schon interessant, aber „ein Fragment von etwas Ernsthafterem“. Schließlich sind Militärparaden nur der äußere, spektakuläre Teil eines schwierigen Gottesdienstes. Ich gebe nur ein Beispiel, beginne aber mit dem seltsamen, aber international anerkannten Fach Mathematik. Im Jahr 1852 fragte ein englischer Student seinen Professor, ob eine Karte in vier Farben eingefärbt werden könne, sodass die Nachbarländer immer in verschiedenen Farben erscheinen würden. Ich möchte hinzufügen, dass wir keine „benachbarten“ Staaten berücksichtigen, die sich nur an einem Punkt treffen, wie beispielsweise die Bundesstaaten Wyoming und Utah in den USA. Der Professor wusste es nicht... und das Problem wartete mehr als hundert Jahre lang auf eine Lösung.
8. Ikosaeder aus RECO-Blöcken. Blitzreflektoren zeigen, was das Ikosaeder mit einem Dreieck und einem Fünfeck gemeinsam hat. An jedem Scheitelpunkt treffen fünf Dreiecke aufeinander.
Dies geschah aus einer unerwarteten Richtung. 1976 schrieb eine Gruppe amerikanischer Mathematiker ein Programm zur Lösung dieses Problems (und sie kamen zu dem Schluss: Ja, vier Farben werden immer ausreichen). Dies war der erste Beweis einer mathematischen Tatsache, der mit Hilfe einer „mathematischen Maschine“ – wie ein Computer vor einem halben Jahrhundert genannt wurde (und noch früher: einem „elektronischen Gehirn“) – erlangt wurde.
Hier ist eine speziell gezeigte „Europakarte“ (Feige. 9). Die Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, sind verbunden. Das Färben einer Karte ist dasselbe wie das Färben der Kreise dieses Diagramms (Graph genannt), sodass keine verbundenen Kreise dieselbe Farbe haben. Ein Blick nach Liechtenstein, Belgien, Frankreich und Deutschland zeigt, dass drei Farben nicht ausreichen. Wenn Sie möchten, lieber Leser, malen Sie es in vier Farben aus.
9. Wer grenzt in Europa an wen?
Nun ja, aber ist es das Geld des Steuerzahlers wert? Schauen wir uns also dasselbe Diagramm etwas anders an. Vergessen wir, dass es Staaten und Grenzen gibt. Die Kreise symbolisieren Informationspakete, die von einem Punkt zum anderen gesendet werden sollen (z. B. von P nach EST), und die Segmente stellen mögliche Verbindungen dar, von denen jede ihren eigenen Durchsatz hat. So schnell wie möglich versenden?
Schauen wir uns zunächst eine sehr vereinfachte, aber auch mathematisch sehr interessante Situation an. Wir müssen etwas von Punkt S (=als Start) zu Punkt M (=Ziel) senden und dabei ein Netzwerk von Verbindungen mit derselben Bandbreite verwenden, sagen wir 1. Wir sehen dies in Feige. 10.
10. Verbindungsnetz von Stacyjka Zdroj nach Megapolis.
Stellen wir uns vor, dass etwa 89 Bits an Informationen von S nach M gesendet werden müssen. Der Autor dieser Worte mag Zugprobleme und stellt sich daher vor, dass er Manager bei Stacie Zdroj ist, von wo aus er 144 Waggons abfertigen muss. zum Bahnhof Megapolis. Warum 144? Denn wie wir sehen werden, wird daraus der Durchsatz des gesamten Netzwerks berechnet. Die Kapazität beträgt 1 an jedem Standort, d. h. Pro Zeiteinheit kann ein Auto fahren (ein Informationsbit, ggf. auch ein Gigabyte).
Stellen wir sicher, dass sich in M alle Autos zur gleichen Zeit treffen. Jeder kommt in 89 Zeiteinheiten dort an. Wenn ich ein sehr wichtiges S-zu-M-Informationspaket versenden möchte, teile ich es in Gruppen von 144 Einheiten auf und verschicke es wie oben beschrieben. Die Mathematik garantiert, dass dies am schnellsten ist. Woher wusste ich, dass du 89 brauchst? Eigentlich habe ich es erraten, aber wenn ich es nicht erraten hätte, hätte ich es herausfinden müssen die Kirchhoff-Gleichung (Erinnert sich jemand? - Das sind Gleichungen, die den Stromfluss beschreiben). Die Netzwerkbandbreite beträgt 184/89, was ungefähr 1,62 entspricht.
Über Freude
Ich mag übrigens die Nummer 144. Ich habe es geliebt, mit dem Bus mit dieser Nummer zum Warschauer Schlossplatz zu fahren – als es noch kein restauriertes Königsschloss in der Nähe gab. Vielleicht wissen junge Leser, was ein Dutzend ist. Das sind 12 Exemplare, aber nur ältere Leser werden sich daran erinnern, dass es ein Dutzend Dutzend sind, d.h. 122=144, das sind die sogenannten Vielen. Und jeder, der Mathematik etwas besser kennt als aus dem Schullehrplan, wird das sofort verstehen Feige. 10 wir haben Fibonacci-Zahlen und dieser Netzwerkdurchsatz liegt nahe an der „goldenen Zahl“
In der Fibonacci-Folge ist 144 die einzige Zahl, die ein perfektes Quadrat ist. Einhundertvierundvierzig ist auch eine „freudige Zahl“. So ein indischer Amateurmathematiker Dattatreya Ramachandra Kaprekar 1955 benannte er Zahlen, die durch die Summe ihrer einzelnen Ziffern teilbar sind:
Wenn er das nur wüsste Adam Mickiewicz, hätte er in Dzyady sicherlich nein geschrieben: „Von einer fremden Mutter; sein Blut ist seine alten Helden / Und sein Name ist vierundvierzig, nur eleganter: Und sein Name ist einhundertvierundvierzig.
Nehmen Sie Spaß ernst
Ich hoffe, ich habe die Leser davon überzeugt, dass Sudoku-Rätsel eine unterhaltsame Seite von Dingen sind, die es definitiv verdienen, ernst genommen zu werden. Ich kann dieses Thema nicht weiter ausführen. Oh, vollständige Berechnung der Netzwerkbandbreite anhand der Tabelle unter Feige. 9 Das Schreiben eines Gleichungssystems würde zwei oder mehr Stunden dauern - vielleicht sogar mehrere zehn Sekunden (!) Computerarbeit.
