Farbige Quadrate und Sonnenfinsternisse

Der Artikel beschreibt meinen Unterricht für Mittelschüler - Stipendiaten des National Children's Fund. Die Stiftung sucht besonders begabte Kinder und Jugendliche (ab Klasse XNUMX der Grundschule bis zum Gymnasium) und vergibt „Stipendien“ an ausgewählte Schüler. Sie bestehen jedoch keineswegs im Abheben von Bargeld, sondern in einer umfassenden, in der Regel langjährigen Betreuung der Talententwicklung. Im Gegensatz zu vielen anderen Projekten dieser Art nehmen namhafte Wissenschaftler, Kulturschaffende, prominente Humanisten und andere Weise, aber auch einige Politiker die Schutzzauber der Stiftung ernst.

Die Aktivitäten der Stiftung umfassen alle Disziplinen, die zu den Grundfächern der Schule gehören, mit Ausnahme des Sports, einschließlich der Kunst. Die Stiftung wurde 1983 als Gegenentwurf zur damaligen Realität gegründet. Jeder kann den Fonds beantragen (in der Regel über eine Schule, am besten vor Ende des Schuljahres), aber natürlich gibt es ein bestimmtes Sieb, ein bestimmtes Qualifizierungsverfahren.

Wie ich bereits erwähnt habe, basiert der Artikel auf meinen Meisterkursen, insbesondere in Gdynia, im März 2016, an der 24. Mittelschule der III. Sekundarschule. Marine. Seit vielen Jahren werden diese Seminare unter der Schirmherrschaft der Stiftung von Wojciech Tomalczyk, einem Lehrer mit außergewöhnlichem Charisma und hohem intellektuellem Niveau, organisiert. Im Jahr 2008 gehörte er zu den Top Ten in Polen, denen der Titel eines Professors für Pädagogik verliehen wurde (was vor vielen Jahren gesetzlich vorgesehen war). Die Aussage: „Bildung ist die Achse der Welt“ ist eine leichte Übertreibung.

und der Mond sind immer wieder faszinierend - dann spürt man, dass wir auf einem winzigen Planeten in einem riesigen Raum leben, wo alles in Bewegung ist, gemessen in Zentimetern und Sekunden. Es macht mir sogar ein bisschen Angst, auch die zeitliche Perspektive. Wir erfahren, dass die nächste totale Sonnenfinsternis, die vom Gebiet des heutigen Warschau aus sichtbar ist, in ... 2681 stattfinden wird. Ich frage mich, wer wird es sehen? Die scheinbaren Größen von Sonne und Mond an unserem Himmel sind fast gleich – deshalb sind Finsternisse so kurz und so spektakulär. Jahrhundertelang sollten diese kurzen Minuten den Astronomen ausreichen, um die Sonnenkorona zu sehen. Es ist seltsam, dass sie zweimal im Jahr vorkommen ... aber das bedeutet nur, dass sie irgendwo auf der Erde für kurze Zeit zu sehen sind. Durch Gezeitenbewegungen entfernt sich der Mond von der Erde – in 260 Millionen Jahren wird er so weit entfernt sein, dass wir (wir???) nur noch ringförmige Sonnenfinsternisse sehen werden.

Anscheinend war er der Erste, der vorhersagte Finsternis, war Thales von Milet (28-585 Jahrhunderte v. Chr.). Wir werden wahrscheinlich nicht wissen, ob es tatsächlich passiert ist, das heißt, ob er es vorhergesagt hat, denn die Tatsache, dass die Sonnenfinsternis in Kleinasien am Mai 567, 566 v. Chr. stattfand, ist eine Tatsache, die durch moderne Berechnungen bestätigt wird. Natürlich stelle ich Daten basierend auf der heutigen Zeitzählung zur Verfügung. Als Kind habe ich mir vorgestellt, wie Menschen die Jahre zählen. Das ist also zum Beispiel XNUMX Jahre v. Chr., Silvester kommt und die Menschen jubeln: erst XNUMX Jahre v. Chr.! Wie glücklich müssen sie gewesen sein, als „unsere Ära“ endlich anbrach! Was für einen Meilenstein haben wir vor ein paar Jahren erlebt!

Mathematik zur Berechnung von Daten und Zeiträumen Finsternisse, ist nicht besonders komplex, aber voller Faktoren, die mit der Regelmäßigkeit und, noch schlimmer, der Ungleichmäßigkeit der Orbitalbewegung des Körpers zusammenhängen. Ich würde diese Mathematik sogar gerne kennen. Wie konnte Thales von Milet die notwendigen Berechnungen anstellen? Die Antwort ist einfach. Sie müssen über eine Sternenkarte verfügen. Wie erstellt man eine solche Karte? Das ist auch nicht schwer, die alten Ägypter wussten, wie es geht. Um Mitternacht kommen zwei Priester auf das Dach des Tempels. Jeder von ihnen setzt sich hin und zeichnet, was er sieht (wie sein Kollege). Zweitausend Jahre später wissen wir alles über die Bewegung der Planeten ...

Schöne Geometrie oder Spaß auf dem „Teppich“

Die Griechen mochten keine Zahlen; sie griffen auf die Geometrie zurück. Das werden wir tun. Unser Finsternis Sie werden einfach, farbenfroh, aber genauso interessant und echt sein. Akzeptieren wir die Vereinbarung, dass sich die blaue Figur so bewegt, dass sie die rote in den Schatten stellt. Nennen wir die blaue Figur den Mond und die rote Figur die Sonne. Wir werden uns folgende Fragen stellen:

1. Wie lange dauert die Sonnenfinsternis?
2. wenn die Hälfte des Ziels abgedeckt ist;

   Reis. 1 Mehrfarbiger „Teppich“ mit Sonne und Mond

3. Wie hoch ist die maximale Deckung?
4. Ist es möglich, die Abhängigkeit der Schirmbedeckung von der Zeit zu analysieren? In diesem Artikel (ich bin durch die Länge des Textes eingeschränkt) werde ich mich auf die zweite Frage konzentrieren. Dahinter steckt eine schöne Geometrie, vielleicht ohne langweilige Berechnungen. Schauen wir uns Abb. an. 1. Können wir davon ausgehen, dass es mit ... einer Sonnenfinsternis zusammenhängt?

Ich muss ehrlich sagen, dass die Aufgaben, die ich besprechen werde, speziell ausgewählt und an die Kenntnisse und Fähigkeiten von Mittel- und Oberstufenschülern angepasst werden. Wir trainieren jedoch Aufgaben wie das Spielen von Tonleitern durch Musiker oder das Durchführen allgemeiner Entwicklungsübungen durch Sportler. Außerdem ist es nicht einfach nur ein hübscher Teppich (Abbildung 1)?

Reis. 2 „Blauer“ Mond und „rote“ Sonne

Unsere Himmelskörper werden, zumindest zunächst, farbige Quadrate sein. Der Mond ist blau, die Sonne ist rot (am besten zum Ausmalen). Mit der Gegenwart Finsternis Der Mond jagt die Sonne über den Himmel, holt sie ein ... und bedeckt sie. Bei uns wird es genauso sein. Der einfachste Fall liegt vor, wenn sich der Mond relativ zur Sonne bewegt, wie in Abb. 2. Eine Sonnenfinsternis beginnt, wenn der Rand der Mondscheibe den Rand der Sonnenscheibe berührt (Abb. 2) und endet, wenn sie darüber hinausgeht.

Reis. 3 Der Mond nähert sich der Sonne diagonal

Wir gehen davon aus, dass sich der „Mond“ pro Zeiteinheit, beispielsweise pro Minute, um ein Quadrat bewegt. Die Sonnenfinsternis dauert dann acht Zeiteinheiten, sagen wir Minuten. Halb Sonnenfinsternisse komplett abgedunkelt. Die Hälfte des Zifferblatts schließt zweimal: nach 2 und 6 Minuten. Die Grafik des Prozentsatzes der Dunkelheit ist einfach. Während der ersten zwei Minuten schließt sich der Schild gleichmäßig mit einer Geschwindigkeit von null zu 1 und öffnet sich in den nächsten zwei Minuten mit derselben Geschwindigkeit.

Hier ist ein interessanteres Beispiel (Abb. 3). Der Mond nähert sich der Sonne diagonal. Gemäß unserer Minutenvereinbarung dauert die Sonnenfinsternis 8√2 Minuten - mitten in dieser Zeit haben wir eine totale Sonnenfinsternis. Berechnen wir, welcher Teil der Sonne nach der Zeit t bedeckt ist (Abb. 3). Wenn seit dem Beginn der Sonnenfinsternis t Minuten vergangen sind und der Mond dadurch wie in Abb. 5, dann (Achtung!) Daher ist es bedeckt (die Fläche des Quadrats APQR), gleich der Hälfte der Sonnenscheibe; also war es bedeckt, als, d.h. nach 4 Minuten (dann 4 Minuten vor Ende der Sonnenfinsternis).

Reis. 4 Diagramm der Funktion „Shading“.

Gesamtheit dauert einen Moment (t = 4√2), und der Graph der Funktion „schattierter Teil“ besteht aus zwei Parabelbögen (Abb. 4).

Unser blauer Mond berührt die Ecke mit der roten Sonne, bedeckt sie jedoch nicht diagonal, sondern leicht diagonal. Eine interessante Geometrie erscheint, wenn wir die Bewegung etwas verkomplizieren (Abb. 6). Die Bewegungsrichtung ist nun Vektor [4,3], also „vier Zellen nach rechts, drei Zellen nach oben“. Der Sonnenstand ist so, dass die Sonnenfinsternis beginnt (Position A), wenn die Seiten der „Himmelskörper“ auf ein Viertel ihrer Länge konvergieren. Wenn sich der Mond in Position B bewegt, verfinstert er ein Sechstel der Sonne und in Position C die Hälfte. In Position D haben wir eine totale Sonnenfinsternis, und dann ist alles wieder „wie es war“.

Reis. 5 Ein Teil der Sonne ist während der Zeit t verborgen

Eine Sonnenfinsternis endet, wenn der Mond in Position G steht. Sie dauerte so lange Abschnittslänge AG. Wenn wir wie zuvor die Zeit, in der der Mond „ein Quadrat“ passiert, als Zeiteinheit nehmen, dann ist die Länge von AG gleich. Wenn wir zur alten Konvention zurückkehren würden, dass unsere Himmelskörper 4 mal 4 groß sind, wäre das Ergebnis ein anderes (was?). Wie man leicht erkennen kann, ist das Ziel nach t < 15 geschlossen. Der Graph der Funktion „Prozentsatz der Bildschirmabdeckung“ ist in Abb. zu sehen. 6.

Reis. 6 Diagramm der Funktion „Prozentsatz des Schutzes“.

Finsternis- und Sprunggleichung

Reis. 7 Blockierung der Sonnenscheibe während der in Abb. gezeigten Sonnenfinsternis. 6

Das Problem der Finsternisse wäre unvollständig, wenn wir den Fall der Kreise nicht berücksichtigen würden. Das ist viel komplizierter, aber versuchen wir herauszufinden, wann ein Kreis die Hälfte des anderen verdunkelt – und im einfachsten Fall, wenn sich einer von ihnen entlang des Durchmessers bewegt, der beide verbindet. Die Zeichnung ist allen Kreditkarteninhabern bekannt.

Die Berechnung der Position der Felder ist komplex, da sie erstens die Kenntnis der Formel für die Fläche eines Kreissegments, zweitens die Kenntnis des Winkelbogens und drittens (und am schlimmsten) die Fähigkeit erfordert um eine bestimmte Sprunggleichung zu lösen. Ich werde nicht erklären, was eine „transitive Gleichung“ ist; schauen wir uns ein Beispiel an (Abb. 8).

Reis. 8 „Sphärische“ Sonnenfinsternis

Der kreisförmige Abschnitt ist die „Schale“, die übrig bleibt, wenn der Kreis in eine gerade Linie geschnitten wird. Die Fläche eines solchen Segments beträgt S = 1/2r²(φ-sinφ), wobei r der Radius des Kreises und φ der Mittelpunktswinkel ist, auf dem das Segment ruht (Abb. 8). Dies erhält man leicht, indem man die Fläche des Dreiecks von der Fläche des Kreissektors subtrahiert.

Folge O₁O₂ (der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise) beträgt dann 2rcosφ/2 und die Höhe (Breite, „Taille“) h = 2rsinφ/2. Wenn wir also berechnen wollen, wann der Mond die Hälfte der Sonnenscheibe bedecken wird, müssen wir die Gleichung lösen, die nach Vereinfachung die Form annimmt:

Reis. 9 Diagramme zweier Funktionen

Das Lösen solcher Gleichungen geht über einfache Algebra hinaus – die Gleichung umfasst sowohl Winkel als auch ihre trigonometrischen Funktionen. Die Gleichung geht über den Rahmen traditioneller Methoden hinaus. Deshalb heißt es springen. Schauen wir uns zunächst die Graphen beider Funktionen an, also Funktionen und Funktionen. Aus dieser Abbildung können wir die Näherungslösung ablesen. Wir können die Näherung jedoch mithilfe einer iterativen Methode erhalten oder ... die Solver-Option in der Excel-Tabelle verwenden. Das sollte jeder Gymnasiast können, denn wir leben im 20. Jahrhundert. Ich habe ein komplexeres Mathematica-Tool verwendet und hier ist unsere Lösung mit unnötigen Dezimalstellen an Genauigkeit:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Reis. 10 Eclipse-Animation in Matematica

Wir wandeln dies in Grad um, indem wir mit 180/π multiplizieren. Wir erhalten 132 Grad, 20 Minuten, 45 und eine Viertelbogensekunde. Berechnen wir, dass der Abstand zum Mittelpunkt des Kreises O beträgt₁O₂ = 0,808 Radius und „Taille“ 2,310.