Lem, Tokarczuk, Krakau, Mathematik

Vom 3. bis 7. September 2019 fand in Krakau der Jubiläumskongress der Polnischen Mathematischen Gesellschaft statt. Jubiläum, weil der hundertste Jahrestag der Gründung der Gesellschaft. Sie existierte in Galizien seit den 1. Jahren (ohne das Adjektiv, dass der polnische Liberalismus des Kaisers FJ1919 seine Grenzen hatte), aber als landesweite Organisation war sie erst ab 1919 tätig. Große Fortschritte in der polnischen Mathematik gehen auf die 1939-XNUMXer Jahre der XNUMXer Jahre zurück. XNUMX an der Jan-Casimir-Universität in Lemberg, aber die Convention konnte dort nicht stattfinden – und es ist auch nicht die beste Idee.

Das Treffen war sehr festlich, voll von Begleitveranstaltungen (darunter ein Auftritt von Jacek Wojcicki im Schloss in Niepolomice). Die Hauptvorträge wurden von 28 Referenten gehalten. Sie waren auf Polnisch, weil die geladenen Gäste Polen waren – nicht unbedingt im Sinne der Staatsbürgerschaft, aber sich selbst als Polen anerkennend. Ach ja, nur dreizehn Dozenten kamen aus polnischen Wissenschaftseinrichtungen, die restlichen fünfzehn kamen aus den USA (7), Frankreich (4), England (2), Deutschland (1) und Kanada (1). Nun, das ist ein bekanntes Phänomen in Fußballligen.

Die Besten treten ständig im Ausland auf. Es ist ein bisschen traurig, aber Freiheit ist Freiheit. Mehrere polnische Mathematiker haben Karrieren im Ausland gemacht, die in Polen unerreichbar waren. Geld spielt hier eine untergeordnete Rolle, aber über solche Themen möchte ich nicht schreiben. Vielleicht nur zwei Kommentare.

In Russland und davor in der Sowjetunion war und ist dies auf der bewusstesten Ebene ... und irgendwie möchte niemand dorthin auswandern. In Deutschland wiederum bewerben sich etwa ein Dutzend Kandidaten auf die Stelle eines Professors an einer Universität (Kollegen der Universität Konstanz gaben an, dass sie in einem Jahr 120 Bewerbungen hatten, davon 50 sehr gut und 20 ausgezeichnet).

Einige der Vorträge des Jubiläumskongresses können in unserem Monatsbericht zusammengefasst werden. Titel wie „Grenzen spärlicher Graphen und ihre Anwendungen“ oder „Lineare Struktur und Geometrie von Unterräumen und Faktorräumen für hochdimensionale normalisierte Räume“ werden für den Durchschnittsleser nichts bedeuten. Das zweite Thema wurde von meinem Freund aus den ersten Kursen vorgestellt, Nicole Tomczak.

Vor einigen Jahren wurde sie für eine in diesem Vortrag vorgestellte Leistung nominiert. Fields-Medaille ist das Äquivalent für Mathematiker. Bisher hat nur eine Frau diese Auszeichnung erhalten. Hervorzuheben ist auch der Vortrag Anna Marciniak-Chohra (Universität Heidelberg) „Die Rolle mechanistischer mathematischer Modelle in der Medizin am Beispiel der Leukämiemodellierung.“

trat in die Medizin ein. An der Universität Warschau hat eine Gruppe unter der Leitung von Prof. Jerzy Tyurin.

Der Titel des Vortrags wird den Lesern nicht klar sein Veslava Niziol (z prestiżowej Höhere Pädagogische Schule) „-adische Hodge-Theorie". Dennoch habe ich beschlossen, diesen Vortrag hier zu diskutieren.

Geometrie adischer Welten

Es beginnt mit einfachen Kleinigkeiten und... Erinnern Sie sich, lieber Leser, an die Methode des schriftlichen Austauschs? Definitiv. Erinnern Sie sich an die unbeschwerten Jahre der Grundschule. Teilen Sie 125051 durch 23 (dies ist die Aktion links). Wussten Sie, dass es auch anders sein kann (Aktion rechts)?

Diese neue Methode ist interessant. Ich gehe vom Ende. Wir müssen 125051 durch 23 teilen. Womit müssen wir 23 multiplizieren, damit die letzte Ziffer 1 ist? Suche im Speicher und wir haben :=7. Die letzte Ziffer des Ergebnisses ist 7. Multiplizieren, subtrahieren, wir erhalten 489. Wie multipliziert man 23, um am Ende 9 zu erhalten? Natürlich durch 3. Wir kommen an den Punkt, an dem wir alle Zahlen des Ergebnisses bestimmen. Wir finden es unpraktisch und schwieriger als unsere übliche Methode - aber es ist Übungssache!

Eine andere Wendung nimmt die Sache, als der tapfere Mann nicht vollständig durch den Divisor geteilt wird. Machen wir die Aufteilung und sehen, was passiert.

Auf der linken Seite befindet sich der übliche Schulweg. Rechts sind „unsere Fremden“.

Wir können beide Ergebnisse durch Multiplikation überprüfen. Das erste, was wir verstehen, ist, dass ein Drittel der Zahl 4675 eintausendfünfhundertachtundfünfzig ist und drei in der Periode liegt. Die zweite Frage ergibt keinen Sinn: Was ist das für eine Zahl, vor der unendlich viele Sechsen stehen und dann 8225?

Lassen wir die Sinnfrage für einen Moment beiseite. Lass uns spielen. Teilen wir also 1 durch 3 und dann 1 durch 7, also ein Drittel und ein Siebtel. Wir können leicht Folgendes erhalten:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Diese letzte Zeile bedeutet: Block 285714 wiederholt sich am Anfang endlos, und schließlich sind es drei davon. Für diejenigen, die es nicht glauben, hier ein Scheck:

Jetzt addieren wir Brüche:

Dann addieren wir die resultierenden seltsamen Zahlen und erhalten (überprüfen) dieselbe seltsame Zahl.

......95238095238095238095238010

Wir können überprüfen, ob dies gleich ist

Der Punkt bleibt abzuwarten, aber die Rechnung ist richtig.

Noch ein Beispiel.

Die gemeinsame, wenn auch große Zahl 40081787109376 hat eine interessante Eigenschaft: Ihr Quadrat endet ebenfalls auf 40081787109376. Wenn Sie es nicht glauben, lassen Sie ihn nachsehen und ... nach der nächsten Zahl auf der linken Seite suchen, d. h. Nummer x40081787109376, die ( x40081787109376)² endet auch mit x40081787109376.

Tipp. Wir haben 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, die nächste Ziffer ist also das Dreierkomplement, also 7. Schauen wir uns an: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Die Frage, warum dies so ist, ist eine Herausforderung. Das ist einfacher: Finden Sie ähnliche Endungen für Zahlen, die auf 5 enden. Wenn wir den Prozess der Suche nach den nächsten Ziffern bis ins Unendliche fortsetzen, werden wir zu solchen „Zahlen“ gelangen ²=²= (und keine dieser Zahlen ist Null oder Eins).

wir verstehen es gut. Je weiter hinter dem Komma, desto unwichtiger ist die Zahl. Bei technischen Berechnungen ist die erste Dezimalstelle ebenso wichtig wie die zweite, aber in vielen Fällen können wir davon ausgehen, dass das Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser 3,14 beträgt. Natürlich müssen in der Luftfahrtbranche noch mehr Zahlen einbezogen werden, aber ich glaube nicht, dass es mehr als zehn sein werden.

Der Name erschien im Titel des Artikels Stanislav Lem (1921-2006) sowie unser neuer Nobelpreisträger. Dame Olga Tokartschuk Ich habe das nur erwähnt, weil schreiende UngerechtigkeitTatsache ist, dass Stanislaw Lem nicht den Nobelpreis für Literatur erhalten hat. Aber es ist nicht in unserer Ecke.

Lem sah oft die Zukunft voraus. Er fragte sich, was passieren würde, wenn sie von den Menschen unabhängig würden. Wie viele Filme zu diesem Thema sind in letzter Zeit erschienen! Lem hat das optische Lesegerät und die Pharmakologie der Zukunft ziemlich genau vorhergesagt und beschrieben.

Er kannte sich mit Mathematik aus, obwohl er sie manchmal als Dekoration betrachtete und sich nicht um die Richtigkeit der Berechnungen kümmerte. Beispielsweise betritt der Pirx-Pilot in der Geschichte „The Test“ die Umlaufbahn B68 mit einer Rotationsperiode von 4 Stunden 29 Minuten, und die Anweisungen lauten 4 Stunden 26 Minuten. Er erinnert sich, dass sie mit einem Fehler von 0,3 Prozent gerechnet haben. Er gibt die Daten an den Rechner weiter und der Rechner antwortet, dass alles in Ordnung sei ... Nun, nein. Drei Zehntel Prozent von 266 Minuten sind weniger als eine Minute. Aber ändert dieser Fehler etwas? Vielleicht war es Absicht?

Warum schreibe ich darüber? Auch viele Mathematiker haben diese Frage aufgeworfen: Stellen Sie sich eine Gemeinschaft vor. Sie verfügen nicht über unsere menschliche Intelligenz. Für uns sind 1609,12134 und 1609,23245 sehr ähnliche Zahlen – gute Annäherungen an die englische Meile. Computer können jedoch die Zahlen 468146123456123456 und 9999999123456123456 als ähnlich betrachten. Sie haben die gleichen zwölfstelligen Endungen.

Je häufiger die Ziffern am Ende vorkommen, desto näher liegen die Zahlen beieinander. Und das führt zur sogenannten Distanz -adisch. Sei p für einen Moment gleich 10; warum nur "für eine Weile", erkläre ich ... jetzt. Der 10-Punkte-Abstand der oben geschriebenen Zahlen ist 

oder ein Millionstel - weil diese Zahlen am Ende sechs gemeinsame Ziffern haben. Alle ganzen Zahlen unterscheiden sich von Null um eins oder weniger. Ich werde nicht einmal eine Vorlage schreiben, weil es keine Rolle spielt. Je mehr identische Zahlen am Ende stehen, desto näher liegen die Zahlen (für eine Person werden dagegen die Anfangszahlen berücksichtigt). Wichtig ist, dass p eine Primzahl ist.

Dann - sie mögen Nullen und Einsen, also sehen sie alles in diesen Mustern: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

Im Roman „Pan's Glos“ beauftragt Stanislaw Lem Wissenschaftler, eine aus dem Jenseits gesendete Nachricht zu lesen, natürlich mit dem Code „Null Eins“. Schreibt uns jemand? Lem argumentiert, dass „jede Nachricht gelesen werden kann, wenn es sich um die Nachricht handelt, dass uns jemand etwas sagen wollte.“ Aber ist es? Ich werde die Leser mit diesem Dilemma zurücklassen.

Wir leben im dreidimensionalen Raum R³. Brief R erinnert daran, dass die Achsen aus reellen Zahlen bestehen, d. h. ganzen Zahlen, negativ und positiv, Null, rationalen (d. h. Brüchen) und irrationalen Zahlen, mit denen die Leser in der Schule vertraut gemacht wurden (), und aus Zahlen, die als transzendente Zahlen bekannt sind und in der Algebra unzugänglich sind (das ist die Zahl π, die seit mehr als zweitausend Jahren den Durchmesser eines Kreises mit seinem Umfang verbindet).

Was wäre, wenn es -adische Zahlen auf den Achsen unseres Raumes gäbe?

Jerzy Mioduszewski, ein Mathematiker an der Schlesischen Universität, argumentiert, dass dies der Fall sein könnte und sogar wahr sein könnte. Wir können (sagt Jerzy Mioduszewski) mit solchen Kreaturen denselben Platz im Weltraum einnehmen, ohne einander zu stören oder zu sehen.

Wir haben also die gesamte Geometrie „ihrer“ Welt zu erkunden. Es ist unwahrscheinlich, dass „sie“ in gleicher Weise über uns denken und sich auch mit unserer Geometrie befassen, denn unsere Welt ist ein Grenzfall aller „ihrer“ Welten. „Sie“, das heißt alle höllischen Welten, in denen es sich um Primzahlen handelt. Insbesondere = 2 und diese faszinierende Welt von Null-Eins ...

Hier kann der Leser des Artikels wütend und sogar wütend werden. „Ist das der Unsinn, den Mathematiker machen?“ Sie träumen davon, nach dem Abendessen Wodka zu trinken, und das auf meine (= Steuerzahler-) Kosten. Und zerstreue sie in alle Winde, lass sie auf Staatsfarmen gehen ... Ach, keine Staatsfarmen mehr!

Entspannen. Sie hatten schon immer eine Vorliebe für solche Witze. Lassen Sie mich nur das Sandwich-Theorem erwähnen: Wenn ich ein Schinken-Käse-Sandwich habe, kann ich es mit einem Schnitt durchschneiden, um Brötchen, Schinken und Käse zu halbieren. Das ist in der Praxis nutzlos. Der Punkt ist, dass dies nur eine spielerische Anwendung eines interessanten allgemeinen Satzes aus der Funktionalanalyse ist.

Wie ernst ist es, sich mit -adischen Zahlen und der damit verbundenen Geometrie zu befassen? Ich möchte den Leser daran erinnern, dass rationale Zahlen (vereinfacht: Brüche) eng auf einer Geraden liegen, diese aber nicht vollständig ausfüllen.

In den „Löchern“ leben irrationale Zahlen. Es gibt viele davon, unendlich viele, aber wir können auch sagen, dass ihre Unendlichkeit größer ist als die der einfachsten, in denen wir zählen: eins, zwei, drei, vier ... und so weiter bis ∞. Das ist unser menschliches Füllen von „Löchern“. Wir haben diese mentale Struktur von geerbt Pythagoräer. 

Aber was für einen Mathematiker interessant und wichtig ist, ist, dass es unmöglich ist, diese Lücken mit irrationalen und p-adischen Zahlen (für alle Primzahlen p) zu „füllen“. Für diejenigen Leser, die das verstehen (und das wurde vor dreißig Jahren an jeder High School gelehrt), ist der Punkt, dass jede Sequenz zufriedenstellend ist Cauchys Zustand, konvergiert.

Ein Raum, in dem dies zutrifft, heißt vollständig („nichts fehlt“). Ich werde mich an die Nummer 547721051611007740081787109376 erinnern.

Die Folge 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 usw. konvergiert gegen einen bestimmten Grenzwert, der ungefähr 0,5477210516110077400 81787109376 entspricht.

Unter dem Gesichtspunkt der 10-adischen Distanz konvergiert jedoch auch die Zahlenfolge 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 usw. zur „seltsamen“ Zahl ... 547721051 611007740081787109376.

Aber selbst dies ist möglicherweise kein ausreichendes Argument, um Wissenschaftlern Regierungsgelder zu geben. Im Allgemeinen verteidigen wir (Mathematiker) uns damit, dass es unmöglich sei, vorherzusagen, wofür unsere Forschung nützlich sein wird. Es ist fast sicher, dass jeder für etwas nützlich sein wird und dass nur ein Handeln auf breiter Front eine Chance auf Erfolg hat.

Eine der größten Erfindungen, das Röntgengerät, entstand, nachdem zufällig Radioaktivität entdeckt wurde Becquerel. Ohne diesen Fall wären viele Jahre der Forschung wahrscheinlich nutzlos gewesen. „Wir suchen nach einer Möglichkeit, den menschlichen Körper zu röntgen.“

Zum Schluss noch das Wichtigste. Alle sind sich einig, dass die Fähigkeit, Gleichungen zu lösen, eine Rolle spielt. Und hier sind unsere seltsamen Zahlen gut geschützt. Der entsprechende Satz (Ich hasse Minkowski) besagt, dass einige Gleichungen genau dann in rationalen Zahlen gelöst werden können, wenn sie reelle Wurzeln und Wurzeln in jedem -adischen Körper haben.

Mehr oder weniger wurde dieser Ansatz vorgestellt Andrew Wiles, das die berühmteste mathematische Gleichung der letzten dreihundert Jahre löste – ich empfehle den Lesern, es in eine Suchmaschine einzugeben „Fermats letzter Satz“.