umgekehrter Charme

Nicht nur in der Mathematik wird viel über die „Schönheit der Gegensätze“ gesprochen. Denken Sie daran, dass entgegengesetzte Zahlen diejenigen sind, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden: plus 7 und minus 7. Die Summe der entgegengesetzten Zahlen ist Null. Aber für uns (also Mathematiker) sind die reziproken Zahlen interessanter. Wenn das Produkt der Zahlen gleich 1 ist, dann sind diese Zahlen Umkehrungen zueinander. Jede Zahl hat ihr Gegenteil, jede Zahl ungleich Null hat ihre Umkehrung. Die Umkehrung der Umkehrung ist der Samen.

Inversion tritt überall dort auf, wo zwei Größen so zueinander in Beziehung stehen, dass, wenn die eine zunimmt, die andere entsprechend abnimmt. „Entsprechend“ bedeutet, dass sich das Produkt dieser Größen nicht ändert. Wir erinnern uns aus der Schule: Das ist umgekehrte Proportionalität. Wenn ich mein Ziel in der Hälfte der Zeit erreichen möchte (also die Zeit halbieren möchte), muss ich meine Geschwindigkeit verdoppeln. Wenn man das Volumen eines verschlossenen Gefäßes mit Gas um das N-fache verringert, erhöht sich sein Druck um das N-fache.

Im Grundschulunterricht unterscheiden wir sorgfältig zwischen differenziellen und relativen Vergleichen. "Wie viel mehr"? – „Wie oft noch?“

Hier sind einige Schulveranstaltungen:

Aufgabe 1. Von zwei positiven Größen ist die erste fünfmal größer als die zweite und gleichzeitig fünfmal größer als die erste. Wie sind die Ausmasse?

Aufgabe 2. Wenn eine Zahl um 3 größer ist als die zweite und die zweite um 2 größer als die dritte, um wie viel größer ist dann die erste Zahl als die dritte? Wenn die erste positive Zahl doppelt so groß ist wie die zweite und die erste Zahl dreimal so groß wie die dritte, wie oft ist dann die erste Zahl größer als die dritte?

Aufgabe 3. In Aufgabe 2 sind nur natürliche Zahlen erlaubt. Ist eine Regelung wie dort beschrieben möglich?

Aufgabe 4. Von zwei positiven Größen ist die erste fünfmal größer als die zweite und die zweite fünfmal größer als die erste. Ist es möglich?

Das Konzept von „durchschnittlich“ oder „durchschnittlich“ scheint sehr einfach zu sein. Wenn ich am Montag 55 km, am Dienstag 45 km und am Mittwoch 80 km mit dem Fahrrad gefahren bin, habe ich durchschnittlich 60 km pro Tag mit dem Fahrrad zurückgelegt. Wir stimmen diesen Berechnungen voll und ganz zu, obwohl sie etwas seltsam sind, da ich noch nie 60 km an einem Tag gefahren bin. Wir akzeptieren auch problemlos die Anteile einer Person: Wenn zweihundert Personen innerhalb von sechs Tagen ein Restaurant besuchen, beträgt der durchschnittliche Tagessatz 33 und ein Drittel Personen. Hm!

Lediglich bei der Durchschnittsgröße gibt es Probleme. Ich mag Fahrradfahren. Deshalb habe ich das Angebot des Reisebüros „Lass uns mitgehen“ genutzt – sie liefern das Gepäck zum Hotel, wo der Kunde zu Erholungszwecken Fahrrad fährt. Am Freitag bin ich vier Stunden gefahren, die ersten beiden mit einer Geschwindigkeit von 24 km/h. Dann wurde ich so müde, dass ich die nächsten beiden nur noch 16 pro Stunde brauchte. Wie hoch war meine Durchschnittsgeschwindigkeit? Natürlich (24+16)/2=20km=20km/h.

Am Samstag wurde das Gepäck jedoch im Hotel gelassen und ich besichtigte die 24 km entfernten Burgruinen und kehrte, nachdem ich sie gesehen hatte, zurück. Ich fuhr eine Stunde lang in eine Richtung und kam langsamer zurück, mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h. Wie hoch war meine Durchschnittsgeschwindigkeit auf der Strecke Hotel-Schloss-Hotel? 20 km pro Stunde? Natürlich nicht. Immerhin bin ich insgesamt 48 km gefahren und habe eine Stunde („hin“) und eineinhalb Stunden zurück gebraucht. 48 km in zweieinhalb Stunden, d.h. Stunde 48/2,5=192/10=19,2 km! In dieser Situation ist die Durchschnittsgeschwindigkeit nicht das arithmetische Mittel, sondern eine Harmonische der angegebenen Werte:

und diese zweistöckige Formel kann wie folgt gelesen werden: Das harmonische Mittel positiver Zahlen ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels ihres Kehrwerts. Die Umkehrung der Summe der Umkehrungen erscheint in vielen Refrains von Schulaufgaben: Wenn ein Arbeiter stundenlang gräbt, der andere b Stunden, dann graben sie gemeinsam pünktlich. Becken mit Wasser (eins zu jeder Stunde, ein weiteres zu sechs Stunden). Wenn ein Widerstand R1 und der andere R2 hat, dann haben sie einen Parallelwiderstand. 

Wenn ein Computer ein Problem in Sekunden lösen kann, ein anderer Computer in b Sekunden, dann wenn sie zusammenarbeiten ...

Stoppen! Hier endet die Analogie, denn alles hängt von der Geschwindigkeit des Netzwerks ab: der Effizienz der Verbindungen. Arbeitnehmer können sich auch gegenseitig behindern oder helfen. Wenn eine Person in acht Stunden einen Brunnen graben kann, können es dann achtzig Arbeiter in einer Zehntelstunde (oder 1 Minuten) schaffen? Wenn sechs Träger ein Klavier in sechs Minuten in den ersten Stock bringen, wie lange wird einer von ihnen dann brauchen, um das Klavier in den sechzigsten Stock zu bringen? Die Absurdität solcher Probleme erinnert uns an die begrenzte Anwendbarkeit der gesamten Mathematik auf Probleme im „echten Leben“.

Lieber Verkäufer 

Die Waage wird nicht mehr verwendet. Denken Sie daran, dass ein Gewicht auf eine Schale einer solchen Waage gelegt wurde und die zu wiegende Ware auf die andere, und wenn das Gewicht im Gleichgewicht war, wog die Ware so viel wie das Gewicht. Natürlich müssen beide Arme der Gewichtsbelastung gleich lang sein, sonst ist die Wiegung falsch.

Oh, richtig. Stellen Sie sich einen Verkäufer mit Gewicht und ungleichen Schultern vor. Allerdings möchte er den Kunden gegenüber ehrlich sein und wiegt die Ware in zwei Chargen ab. Zunächst legt er ein Gewicht auf die eine Schale und eine entsprechende Menge Waren auf die andere, sodass die Waage im Gleichgewicht ist. Anschließend wiegt er die zweite „Hälfte“ der Ware in umgekehrter Reihenfolge, das heißt, er legt das Gewicht auf die zweite Schale und die Ware auf die erste. Da die Hände ungleich sind, sind die Hälften nie gleich. Und der Verkäufer hat ein gutes Gewissen, und Käufer loben seine Ehrlichkeit: „Was er hier entfernt hat, hat er später hinzugefügt.“

Schauen wir uns jedoch das Verhalten eines Verkäufers genauer an, der trotz des prekären Gewichts ehrlich sein möchte. Die Arme der Waage sollen die Längen a und b haben. Wird eine der Schalen mit einem Kilogramm Gewicht und die andere mit x Gütern beladen, dann ist die Waage im Gleichgewicht, wenn beim ersten Mal ax = b und beim zweiten Mal bx = a ist. Der erste Teil der Ware entspricht also b/a Kilogramm, der zweite Teil ist a/b. Das Gutgewicht hat a = b, der Käufer erhält also 2 kg Ware. Mal sehen, was passiert, wenn a ≠ b. Dann ist a – b ≠ 0 und aus der reduzierten Multiplikationsformel haben wir

Wir kamen zu einem unerwarteten Ergebnis: Die scheinbar faire Methode der „Durchschnittsmessung“ kommt in diesem Fall dem Käufer zugute, der mehr Waren erhält.

5-Job. (Wichtig, überhaupt nicht in der Mathematik!). Eine Mücke wiegt 2,5 Milligramm und ein Elefant fünf Tonnen (das sind völlig korrekte Daten). Berechnen Sie das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel der Massen (Gewichte) der Mücke und des Elefanten. Überprüfen Sie die Berechnungen und prüfen Sie, ob sie über die Rechenübungen hinaus einen Sinn ergeben. Schauen wir uns andere Beispiele für mathematische Berechnungen an, die im „echten Leben“ keinen Sinn ergeben. Tipp: Ein Beispiel haben wir uns in diesem Artikel bereits angeschaut. Bedeutet das, dass der anonyme Student, dessen Meinung ich im Internet gefunden habe, Recht hatte: „Mathe täuscht Leute mit Zahlen“?

Ja, ich stimme zu, dass man trotz aller Mathematik die Leute „täuschen“ kann – in jeder zweiten Shampoo-Werbung heißt es, dass es die Flauschigkeit um einen gewissen Prozentsatz erhöht. Sollen wir nach anderen Beispielen für nützliche Alltagswerkzeuge suchen, die für kriminelle Aktivitäten eingesetzt werden können?

Gramm!

Der Titel dieser Passage ist ein Verb (erste Person Plural) und kein Substantiv (Nominativ Plural von einem Tausendstel Kilogramm). Harmonie setzt Ordnung und Musik voraus. Für die alten Griechen war Musik ein Zweig der Wissenschaft – allerdings übertragen wir, wenn wir das sagen, die heutige Bedeutung des Wortes „Wissenschaft“ auf die Zeit vor unserer Zeitrechnung. Pythagoras lebte im XNUMX. Jahrhundert v. Chr. Er kannte nicht nur keinen Computer, kein Mobiltelefon und keine E-Mail, sondern wusste auch nicht, wer Robert Lewandowski, Mieszko I., Karl der Große und Cicero waren. Er kannte weder arabische noch römische Ziffern (sie kamen um das XNUMX. Jahrhundert v. Chr. in Gebrauch), er wusste nicht, was die punischen Kriege waren ... Aber er kannte Musik ...

Er wusste, dass bei Saiteninstrumenten die Schwingungskoeffizienten umgekehrt proportional zur Länge der schwingenden Saitenteile sind. Er wusste, er wusste, er konnte es einfach nicht so ausdrücken, wie wir es heute tun.

Die Frequenzen der beiden Saitenschwingungen, aus denen eine Oktave besteht, stehen im Verhältnis 1:2, das heißt, die Frequenz der höheren Note ist doppelt so hoch wie die Frequenz der tieferen. Das richtige Schwingungsverhältnis für die Quinte beträgt 2:3, für die Quarte 3:4, für die reine große Terz 4:5 und für die kleine Terz 5:6. Das sind angenehme Konsonantenintervalle. Dann gibt es zwei neutrale mit Schwingungsverhältnissen von 6:7 und 7:8, dann dissonante – einen großen Ton (8:9), einen kleinen Ton (9:10). Diese Brüche (Verhältnisse) ähneln den Verhältnissen aufeinanderfolgender Glieder einer Folge, die Mathematiker (aus genau diesem Grund) harmonische Reihe nennen:

ist eine theoretisch unendliche Summe. Das Schwingungsverhältnis der Oktave lässt sich als 2:4 schreiben und dazwischen eine Quinte setzen: 2:3:4, das heißt, wir teilen die Oktave in eine Quinte und eine Quarte. Dies wird in der Mathematik als harmonische Segmentdivision bezeichnet:

Reis. 1. Für einen Musiker: Teilen der Oktave AB durch die Quinte AC.Für den Mathematiker: harmonische Segmentierung

Was meine ich, wenn ich (oben) von einer theoretisch unendlichen Summe spreche, beispielsweise einer harmonischen Reihe? Es stellt sich heraus, dass eine solche Summe eine beliebige große Zahl sein kann. Hauptsache, wir addieren lange genug. Die Zutaten werden immer weniger, dafür aber immer mehr davon. Was setzt sich durch? Hier betreten wir das Gebiet der mathematischen Analyse. Es stellt sich heraus, dass die Zutaten aufgebraucht sind, aber nicht sehr schnell. Ich werde zeigen, dass ich mit genügend Zutaten eine Summe bilden kann:

beliebig groß. Nehmen wir als Beispiel n = 1024. Gruppieren wir die Wörter wie in der Abbildung gezeigt:

In jeder Klammer ist jedes Wort größer als das vorherige, mit Ausnahme natürlich des letzten, das sich selbst gleicht. In den folgenden Klammern haben wir 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 und 512 Komponenten; der Wert der Summe in jeder Klammer ist größer als ½. Das alles ist mehr als 5½. Genauere Berechnungen würden zeigen, dass dieser Betrag etwa 7,50918 beträgt. Nicht viel, aber immer, und Sie sehen, dass ich jede Zahl schlagen kann, wenn ich n groß nehme. Dieses unglaublich langsame (zum Beispiel überschreiten wir allein mit den Zutaten zehn), aber endloses Wachstum hat Mathematiker schon immer fasziniert.

Reise in die Unendlichkeit mit einer harmonischen Reihe

Hier ist ein Rätsel für ziemlich ernsthafte Mathematik. Wir haben einen unbegrenzten Vorrat an rechteckigen Blöcken (was sage ich, rechteckig!) mit Abmessungen von beispielsweise 4 × 2 × 1. Stellen Sie sich ein System vor, das aus mehreren (auf Feige. 2 - vier) Blöcke, so angeordnet, dass der erste um die Hälfte seiner Länge geneigt ist, der zweite von oben um ¼ und so weiter, der dritte um ein Sechstel. Um es wirklich stabil zu machen, neigen wir den ersten Stein vielleicht etwas weniger. Für Berechnungen spielt es keine Rolle.

Reis. 2. Bestimmung des Schwerpunkts

Es ist auch leicht zu verstehen, dass B der Schwerpunkt ist, da die Figur, die aus den ersten beiden Blöcken besteht (von oben gezählt), ein Symmetriezentrum im Punkt B hat. Bestimmen wir geometrisch den Schwerpunkt eines Systems, das aus drei oberen Blöcken besteht. Hier genügt ein ganz einfaches Argument. Teilen wir die Drei-Block-Komposition gedanklich in zwei obere und einen dritten unteren auf. Dieser Mittelpunkt muss auf dem Abschnitt liegen, der die Schwerpunkte der beiden Teile verbindet. An welchem ​​Punkt in dieser Episode?

Es gibt zwei Arten der Bezeichnung. Im ersten Schritt nutzen wir die Beobachtung, dass dieser Mittelpunkt in der Mitte der Drei-Block-Pyramide liegen sollte, also auf der Geraden, die den zweiten, mittleren Block schneidet. Bei der zweiten Methode erkennen wir, dass der Schwerpunkt in diesem Abschnitt doppelt so nahe bei B liegen muss wie beim Mittelpunkt S des dritten, da die Gesamtmasse der beiden oberen Blöcke doppelt so groß ist wie die des einzelnen Blocks Nr. 3 (oben). Block. Ebenso finden wir den nächsten Punkt: Wir verbinden den gefundenen Mittelpunkt der drei Blöcke mit dem Mittelpunkt S des vierten Blocks. Der Mittelpunkt des gesamten Systems liegt auf der Höhe 2 und an dem Punkt, der das Segment durch 1 bis 3 (d. h. durch ¾ seiner Länge) teilt.

Die Berechnungen, die wir etwas weiter ausführen werden, führen zu dem in Abb. gezeigten Ergebnis. Abb. 3. Aufeinanderfolgende Schwerpunkte werden vom rechten Rand des unteren Blocks entfernt durch:

Somit liegt die Projektion des Schwerpunkts der Pyramide immer innerhalb der Basis. Der Turm wird nicht einstürzen. Schauen wir uns nun an Feige. 3 und für einen Moment verwenden wir den fünften Block von oben als Basis (den mit einer helleren Farbe markierten). Oben geneigt:

somit ist sein linker Rand um 1 weiter als der rechte Rand der Basis. Hier ist der nächste Schwung:

Was ist der größte Swing? Wir wissen es schon! Es gibt kein Größtes! Selbst aus kleinsten Blöcken kommt man auf einen Überhang von einem Kilometer – leider nur rechnerisch: Die ganze Erde würde nicht ausreichen, um so viele Blöcke zu bauen!

Reis. 3. Fügen Sie weitere Blöcke hinzu

Nun die Berechnungen, die wir oben hinterlassen haben. Wir berechnen alle Abstände „horizontal“ auf der x-Achse, denn nur darum geht es. Punkt A (der Schwerpunkt des ersten Blocks) liegt 1/2 vom rechten Rand entfernt. Punkt B (das Zentrum des Zwei-Block-Systems) liegt 1/4 vom rechten Rand des zweiten Blocks entfernt. Das Ende des zweiten Blocks soll der Ausgangspunkt sein (wir gehen nun zum dritten über). Wo liegt zum Beispiel der Schwerpunkt von Einzelblock Nr. 3? Die halbe Länge dieses Blocks, daher ist er um 1/2 + 1/4 = 3/4 von unserem Referenzpunkt entfernt. Wo ist Punkt C? In zwei Dritteln des Segments zwischen 3/4 und 1/4, also an der Stelle bis, ändern wir den Startpunkt auf den rechten Rand des dritten Blocks. Der Schwerpunkt des Dreiblocksystems wird nun vom neuen Bezugspunkt entfernt und so weiter. Schwerpunkt C_n eines aus n Blöcken bestehenden Turms ist 1/2n vom momentanen Referenzpunkt entfernt, der die rechte Kante des Basisblocks ist, d. h. der n-te Block von oben.

Da die Reihe der Kehrwerte divergiert, können wir jede große Variation erhalten. Könnte dies tatsächlich realisiert werden? Es ist wie ein endloser Backsteinturm – früher oder später wird er unter seinem eigenen Gewicht zusammenbrechen. In unserem Schema führen minimale Ungenauigkeiten bei der Blockplatzierung (und der langsame Anstieg der Teilzeilensummen) dazu, dass wir nicht sehr weit kommen.