Einfache Modelle mit komplexem Verhalten, d. h. Chaos

Der Computer ist ein Werkzeug, das zunehmend von Wissenschaftlern eingesetzt wird, um Geheimnisse aufzudecken, die die Natur sorgfältig versteckt. Modellierung wird neben Experiment und Theorie zur dritten Möglichkeit, die Welt zu studieren.

Vor drei Jahren haben wir an der Schlesischen Universität ein Programm zur Integration von Computermethoden in die Bildung gestartet. Dadurch sind viele äußerst spannende didaktische Materialien entstanden, die das Studium vieler Themen einfacher und vertiefender machen. Als Hauptwerkzeug wurde Python gewählt, das zusammen mit der Leistungsfähigkeit der verfügbaren wissenschaftlichen Bibliotheken wahrscheinlich die beste Lösung für „Computerexperimente“ mit Gleichungen, Bildern oder Daten darstellt. Eine der interessantesten Implementierungen einer kompletten Workbench ist Sage [2]. Es handelt sich um eine offene Integration des Computeralgebrasystems mit der Python-Sprache und ermöglicht außerdem den sofortigen Spielstart über einen Webbrowser und eine der möglichen Zugriffsoptionen über einen Cloud-Dienst [3] oder einen einzelnen Computerserver, auf dem die Interaktion stattfindet Die Version dieses Artikels basiert auf [4] .

Chaos in der Ökologie

In seinen frühen Jahren an der Universität Oxford untersuchte der australische Wissenschaftler Robert May die theoretischen Aspekte der demografischen Dynamik. Er fasste seine Arbeit in einem Artikel zusammen, der in der Zeitschrift Nature mit dem provokanten Titel „Einfache mathematische Modelle mit hochkomplexer Dynamik“ erschien. Im Laufe der Jahre hat sich dieser Aufsatz zu einem der am häufigsten zitierten Werke der theoretischen Ökologie entwickelt. Was hat ein solches Interesse an dieser Arbeit geweckt?

Das klassische Problem der Populationsdynamik besteht darin, die zukünftige Population einer bestimmten Art angesichts ihres aktuellen Zustands zu berechnen. Mathematisch gesehen waren die einfachsten Ökosysteme diejenigen, in denen das Leben einer Generation einer Population eine Saison dauert. Ein gutes Beispiel ist eine Insektenpopulation, die in einer Saison eine vollständige Metamorphose durchläuft, wie zum Beispiel Schmetterlinge. Die Zeit wird auf natürliche Weise in diskrete Zeiträume2 unterteilt, die den Lebenszyklen der Bevölkerung entsprechen. Daher haben die Gleichungen, die ein solches Ökosystem beschreiben, natürlich das sogenannte diskrete Zeit, d.h. t = 1,2,3…. An solchen Dynamiken war unter anderem Robert May beteiligt. In seiner Argumentation vereinfachte er das Ökosystem auf eine einzige Art, deren Population eine quadratische Funktion der Vorjahrespopulation war. Woher kommt dieses Modell?

Die einfachste diskrete Gleichung, die die Entwicklung einer Population beschreibt, ist ein lineares Modell:

Dabei ist Ni die Population in der i-ten Saison und Ni + 1 beschreibt die Population in der nächsten Saison. Es ist leicht zu erkennen, dass eine solche Gleichung zu drei Szenarien führen kann. Wenn a = 1, wird die Evolution die Populationsgröße nicht verändern, und <1 führt zum Aussterben, und der Fall a > 1 bedeutet unbegrenztes Bevölkerungswachstum. Dies führt zu einem Ungleichgewicht in der Natur. Da alles in der Natur begrenzt ist, ist es sinnvoll, diese Gleichung anzupassen, um der begrenzten Menge an Ressourcen Rechnung zu tragen. Stellen Sie sich vor, Schädlinge fressen jedes Jahr die gleiche Menge Getreide. Wenn die Anzahl der Insekten im Vergleich zu der Nahrungsmenge, die sie vermehren können, gering ist, können sie sich mit voller Fortpflanzungskapazität vermehren, was mathematisch durch die Konstante a > 1 bestimmt wird. Mit zunehmender Schädlingszahl wird jedoch die Nahrung knapp und die Fortpflanzungskapazität nimmt ab. In einem kritischen Fall kann man sich vorstellen, dass so viele Insekten geboren werden, dass sie das gesamte Getreide fressen, bevor sie sich fortpflanzen können, und die Population stirbt. Ein Modell, das diesen Effekt des eingeschränkten Zugangs zu Nahrungsmitteln berücksichtigt, wurde erstmals 1838 von Verhulst vorgeschlagen. In diesem Modell ist die Wachstumsrate nicht konstant, sondern hängt vom Zustand der Bevölkerung ab:

Der Zusammenhang zwischen Wachstumsrate a und Ni sollte folgende Eigenschaft haben: Wenn die Bevölkerung zunimmt, sollte die Wachstumsrate abnehmen, weil der Zugang zu Nahrungsmitteln erschwert ist. Natürlich gibt es viele Funktionen mit dieser Eigenschaft: Dies sind Top-Down-Funktionen. Verhulst schlug die folgende Beziehung vor:

wobei a>0 und die Konstante K>0 die Nahrungsressourcen charakterisieren und als Kapazität der Umwelt bezeichnet werden. Wie wirkt sich eine Änderung von K auf die Bevölkerungswachstumsrate aus? Wenn K zunimmt, nimmt Ni/K ab. Dies führt wiederum dazu, dass 1-Ni/K zunimmt, also zunimmt. Das bedeutet, dass die Wachstumsrate zunimmt und die Bevölkerung schneller wächst. Modifizieren wir also das vorherige Modell (1), indem wir annehmen, dass die Wachstumsrate wie in Gleichung (3) variiert. Dann erhalten wir die Gleichung

Diese Gleichung kann als rekursive Gleichung geschrieben werden

wobei xi = Ni / K und xi + 1 = Ni + 1 / K die neu skalierten Populationsmengen zum Zeitpunkt i und zum Zeitpunkt i + 1 bezeichnen. Gleichung (5) wird als logistische Gleichung bezeichnet.

Es mag den Anschein haben, dass unser Modell mit einer so kleinen Änderung leicht zu analysieren ist. Schauen wir es uns an. Betrachten wir Gleichung (5) für den Parameter a = 0.5, ausgehend von der Anfangspopulation x0 = 0.45. Aufeinanderfolgende Populationswerte können mithilfe der rekursiven Gleichung (5) erhalten werden:

x₁= Axt₀(1 S₀)

x₂= Axt₁(1 S₁)

x₃= Axt₂(1 S₂)

Um die Berechnungen in (6) zu erleichtern, können wir das folgende Programm verwenden (es ist in Python geschrieben und kann unter anderem auf der Sage-Plattform ausgeführt werden). Wir empfehlen Ihnen, das Buch http://icse.us zu lesen. edu .pl/e-book .), Simulation unseres Modells:

a = 0.5 x = 0.45 für i im Bereich (10):      x = a*x*(1–x)      x drucken

Wir berechnen aufeinanderfolgende Werte von xi und stellen fest, dass sie gegen Null tendieren. Wenn Sie mit dem obigen Code experimentieren, können Sie auch leicht erkennen, dass dies unabhängig vom Anfangswert von x0 gilt. Das bedeutet, dass die Bevölkerung ständig stirbt.

Im zweiten Schritt der Analyse erhöhen wir den Wert des Parameters a auf einen beliebigen Wert im Bereich ae (1,3). Es stellt sich heraus, dass dann die Folge xi zu einer bestimmten Zahl x * > 0 geht. Aus ökologischer Sicht können wir sagen, dass die Populationsgröße auf einem bestimmten Niveau festgelegt ist, das sich von Saison zu Saison nicht ändert. Es ist erwähnenswert, dass der Wert von x * nicht vom Anfangszustand x0 abhängt. Dies ist der Effekt des nach Stabilisierung strebenden Ökosystems – die Population passt ihre Größe an die Fähigkeit an, sich selbst zu ernähren. Mathematisch sagt man, dass das System zu einem stabilen Fixpunkt tendiert, d.h. die Gleichung x = f(x) erfüllen (das bedeutet, dass der Zustand im nächsten Moment derselbe ist wie im vorherigen Moment). Mit Sage können wir diese Entwicklung grafisch visualisieren, indem wir die Bevölkerung gegen die Zeit auftragen.

Diese stabilisierende Wirkung wurde von den Forschern erwartet und die Logistikgleichung (5) hätte ohne die Überraschung nicht viel Aufmerksamkeit erregt. Es stellte sich heraus, dass sich Modell (5) für bestimmte Werte des Parameters unvorhersehbar verhält. Erstens gibt es periodische und multiperiodische Zustände. Zweitens verändert sich die Population mit jedem Zeitschritt ungleichmäßig, wie bei einer zufälligen Bewegung. Drittens besteht eine große Sensibilität gegenüber den Anfangsbedingungen: Zwei nahezu nicht unterscheidbare Anfangsbedingungen führen zu einer völlig unterschiedlichen Populationsentwicklung. Alle diese Merkmale sind charakteristisch für Verhalten, das einer völlig zufälligen Bewegung ähnelt und als deterministisches Chaos bezeichnet wird.

Lassen Sie uns diese Immobilie erkunden!

Stellen wir zunächst den Parameterwert a = 3.2 ein und schauen wir uns die Entwicklung an. Es mag überraschend erscheinen, dass die Population dieses Mal nicht einen Wert erreicht, sondern zwei, die alle zwei Jahreszeiten nacheinander auftreten. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Probleme damit noch nicht endeten. Bei a = 4 ist das System nicht mehr vorhersehbar. Schauen wir uns Abbildung (2) an oder generieren wir selbst eine Zahlenfolge mit einem Computer. Die Ergebnisse scheinen rein zufällig zu sein und für leicht unterschiedliche Ausgangspopulationen recht unterschiedlich zu sein. Der aufmerksame Leser sollte jedoch Einspruch erheben. Wie kann sich ein System, das durch eine deterministische Gleichung1 beschrieben wird, selbst eine sehr einfache, unvorhersehbar verhalten? Vielleicht.

Eine Besonderheit dieses Systems ist seine bemerkenswerte Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen. Es reicht aus, mit zwei Anfangsbedingungen zu beginnen, die sich um einen Teil in einer Million unterscheiden, und in nur wenigen Schritten erhalten wir völlig unterschiedliche Populationswerte. Schauen wir am Computer nach:

a = 4.0

x = 0.123 u=0.123+0.000001 PKC = [] für i im Bereich (25): x = a*x*(1-x) u = a*u*(1-u) x, y drucken

Hier ist ein einfaches Modell der deterministischen Evolution. Aber dieser Determinismus ist trügerisch, es ist nur mathematischer Determinismus. Aus praktischer Sicht verhält sich das System unvorhersehbar, da wir die Anfangsbedingungen nie mathematisch spezifizieren können. Tatsächlich wird alles mit einer bestimmten Genauigkeit bestimmt: Jedes Messgerät hat eine bestimmte Genauigkeit, und dies kann in deterministischen Systemen, die die Eigenschaft des Chaos haben, zu praktischer Unvorhersehbarkeit führen. Ein Beispiel sind Wettervorhersagemodelle, die immer die Eigenschaft des Chaos aufweisen. Deshalb sind langfristige Wettervorhersagen so schlecht.

Die Analyse chaotischer Systeme ist äußerst schwierig. Viele Rätsel des Chaos können wir jedoch mit Hilfe von Computersimulationen ganz einfach lösen. Lassen Sie uns das sogenannte Bifurkationsdiagramm zeichnen, auf dem wir die Werte des Parameters a entlang der Abszissenachse und die stabilen Fixpunkte der logistischen Abbildung entlang der Ordinatenachse platzieren. Wir erhalten stabile Punkte, indem wir eine große Anzahl von Systemen gleichzeitig simulieren und Werte nach vielen Abtastzeiten aufzeichnen. Wie Sie sich vorstellen können, erfordert dies eine Menge Berechnungen. Versuchen wir, die folgenden Werte "vorsichtig" zu verarbeiten:

numpy als np importieren Nx = 300 Das = 500 x = np.linspace(0,1, nx) х = х + np.zeros((Na,Nx)) h = np.transpose (h) a=np.linspace(1,4,Na) a=a+np.zeros((Nx,Na)) für i im Bereich (100): x=a*x*(1-x) pt = [[a_,x_] für a_,x_ in zip(a.flatten(),x.flatten())] point (pt, size = 1, figsize = (7,5))

Am Ende sollten wir etwas Ähnliches wie in Abbildung (3) erhalten. Wie ist diese Zeichnung zu interpretieren? Mit dem Parameter a = 3.3 haben wir beispielsweise 2 stabile Fixpunkte (die Populationsgröße ist jede zweite Saison gleich). Für den Parameter a = 3.5 haben wir jedoch 4 konstante Punkte (jede vierte Jahreszeit hat die Population die gleiche Größe), und für den Parameter a = 3.56 haben wir 8 konstante Punkte (jede achte Jahreszeit hat die Population die gleiche Größe). Aber für den Parameter a≈3.57 haben wir unendlich viele Fixpunkte (die Populationsgröße wiederholt sich nie und ändert sich nie auf unvorhersehbare Weise). Mit einem Computerprogramm können wir jedoch den Umfang des Parameters a ändern und die unendliche geometrische Struktur dieses Diagramms mit unseren eigenen Händen erkunden.

Dies ist nur die Spitze des Eisbergs. Tausende wissenschaftliche Arbeiten wurden über diese Gleichung geschrieben, aber sie birgt immer noch ihre Geheimnisse. Mit Hilfe der Computermodellierung können Sie, auch ohne Rückgriff auf höhere Mathematik, als Pionier in der Welt der nichtlinearen Dynamik auftreten. Wir laden Sie ein, die Online-Version zu lesen, die Details zu vielen interessanten Eigenschaften der Logistikgleichung und interessante Möglichkeiten zu deren Visualisierung enthält.

¹ Ein deterministisches Gesetz ist ein Gesetz, bei dem die Zukunft eindeutig durch den Ausgangszustand bestimmt wird. Das Antonym ist das Gesetz der Wahrscheinlichkeit. ² In der Mathematik bedeutet „diskret“, Werte aus einer bestimmten abzählbaren Menge zu erhalten. Das Gegenteil von „kontinuierlich“.