fünfmal im Auge

Ende 2020 fanden mehrere Veranstaltungen an Universitäten und Schulen statt, die auf März verschoben wurden. Eine davon war die „Feier“ des Pi Day. Zu diesem Thema habe ich am 8. Dezember einen Fernvortrag an der Schlesischen Universität gehalten, und dieser Artikel ist eine Zusammenfassung des Vortrags. Die ganze Party begann um 9.42 Uhr und mein Vortrag ist für 10.28 Uhr geplant. Woher kommt diese Genauigkeit? Es ist ganz einfach: 3 mal Pi ist etwa 9,42, und Pi hoch 2 ist etwa 9,88, und die Stunde 9 hoch 88 ist 10 hoch 28 ...

Der Brauch, diese Zahl zu ehren, ist drückt das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser aus und wird manchmal als Archimedes-Konstante bezeichnet (und auch im deutschsprachigen Raum), stammt aus den USA (siehe auch: ). 3.14. März „American Style“ um 22:22 Uhr, daher die Idee. Das polnische Äquivalent könnte der 7. Juli sein, weil der Bruch 14/XNUMX π gut annähert, was … Archimedes bereits wusste. Nun, der XNUMX. März ist die beste Zeit für Nebenveranstaltungen.

Diese drei und vierzehn Hundertstel sind eine der wenigen mathematischen Botschaften, die uns die Schule für den Rest unseres Lebens hinterlassen hat. Jeder weiß, was das bedeutet“fünfmal im Auge". Es ist so tief in der Sprache verwurzelt, dass es schwierig ist, es anders und ebenso anmutig auszudrücken. Als ich in einer Autowerkstatt fragte, wie viel eine Reparatur kosten würde, dachte der Mechaniker kurz nach und sagte: „Fünf mal etwa achthundert Zloty.“ Ich beschloss, die Situation auszunutzen. „Du meinst eine grobe Annäherung?“ Der Mechaniker dachte wahrscheinlich, ich hätte nicht richtig gehört, also wiederholte er: „Ich weiß nicht genau, wie viel, aber fünf Mal nach Augenmaß werden es 800 sein.“

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Worum geht es? In der Schreibweise vor dem Zweiten Weltkrieg wurde „nein“ zusammen verwendet, und ich habe es dabei belassen. Wir haben es hier nicht mit allzu gestelzter Poesie zu tun, obwohl mir die Idee gefällt, dass „das goldene Schiff das Glück erschüttert“. Fragen Sie die Schüler: Was bedeutet dieser Gedanke? Aber der Wert dieses Textes liegt anderswo. Die Anzahl der Buchstaben in den folgenden Wörtern sind die Ziffern der Entwicklung von Pi. Werfen wir einen Blick darauf:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX

1596 ein niederländischer Wissenschaftler deutscher Herkunft Ludolf van Ceulen Berechnete den Wert von Pi mit einer Genauigkeit von 35 Dezimalstellen. Diese Figuren wurden dann in sein Grab eingraviert. Sie widmete der Zahl Pi und unserem Nobelpreisträger ein Gedicht, Wyslava Szymborska. Szymborska war fasziniert von der Nichtperiodizität dieser Zahl und der Tatsache, dass mit Wahrscheinlichkeit 1 jede Zahlenfolge, zum Beispiel unsere Telefonnummer, dort auftauchen wird. Während die erste Eigenschaft jeder irrationalen Zahl innewohnt (die wir uns aus der Schule merken sollten), ist die zweite eine interessante mathematische Tatsache, die schwer zu beweisen ist. Sie können sogar Apps finden, die folgendes anbieten: Geben Sie mir Ihre Telefonnummer und ich sage Ihnen, wo sie in Pi ist.

Wo Rundheit ist, ist Schlaf. Wenn wir einen runden See haben, dann dauert das Herumlaufen 1,57-mal länger als das Schwimmen. Das bedeutet natürlich nicht, dass wir eineinhalb bis zwei Mal langsamer schwimmen, als wir passieren. Ich habe den 100-Meter-Weltrekord mit dem 100-Meter-Weltrekord geteilt. Interessanterweise ist das Ergebnis bei Männern und Frauen fast gleich und liegt bei 4,9. Wir schwimmen 5 mal langsamer als wir laufen. Rudern ist ganz anders – aber eine interessante Herausforderung. Es hat eine ziemlich lange Geschichte.

Auf der Flucht vor dem verfolgenden Bösewicht segelte der gutaussehende und edle Gute zum See. Der Bösewicht rennt am Ufer entlang und wartet darauf, dass sie ihn zum Landen bringt. Natürlich läuft er schneller als Dobry Rows, und wenn er ruhig läuft, ist Dobry schneller. Die einzige Chance für das Böse besteht also darin, das Gute vom Ufer zu holen – ein präziser Schuss aus einem Revolver ist keine Option, weil. Gut hat wertvolle Informationen, die Böse wissen möchte.

Die Strategie von Good ist wie folgt. Er schwimmt am See entlang und nähert sich allmählich dem Ufer, versucht aber immer, auf der gegenüberliegenden Seite des Bösen zu sein, der chaotisch nach links und rechts rennt. Dies ist im Bild dargestellt. Die Ausgangsposition des Bösen sei Z₁, und Dobre ist die Mitte des Sees. Wenn Zly zu Z wechselt₁, Good wird nach D schwimmen.₁wenn Bad in Z ist₂, Gut auf D₂. Es wird im Zickzack fließen, aber unter Einhaltung der Regel: so weit wie möglich von Z entfernt. Wenn es sich jedoch von der Mitte des Sees entfernt, muss sich Good in immer größeren Kreisen bewegen und irgendwann kann es die Position nicht mehr aufrechterhalten Prinzip, „auf der anderen Seite des Bösen zu sein“. Dann ruderte er mit aller Kraft zum Ufer und hoffte, dass der Böse den See nicht umrunden würde. Wird Good Erfolg haben?

Die Antwort hängt davon ab, wie schnell Good im Verhältnis zu den Kosten für die Beine von Bad rudern kann. Nehmen wir an, dass die schlechte Person mit einer Geschwindigkeit läuft, die einmal so hoch ist wie die Geschwindigkeit der guten Person auf dem See. Folglich hat der größte Kreis, in dem das Gute rudern kann, um dem Bösen zu widerstehen, einen Radius, der einmal kleiner ist als der Radius des Sees. In der Zeichnung haben wir also. An Punkt W beginnt unser Dobry in Richtung Ufer zu rudern. Das muss weg 

 mit Geschwindigkeit

Er braucht Zeit.

Der Böse jagt jeden mit seinen besten Beinen. Er muss den halben Kreis absolvieren, wofür er je nach gewählten Einheiten Sekunden oder Minuten braucht. Wenn das mehr als ein Happy End ist:

Der Gute wird gehen. Einfache Konten zeigen, was es sein soll. Wenn ein schlechter Mensch schneller als 4,14-mal schneller läuft als ein guter Mensch, endet es schlecht. Und hier kommt auch unsere Pi-Zahl ins Spiel.

Was rund ist, ist schön. Schauen wir uns das Foto von drei dekorativen Tellern an - ich habe sie nach meinen Eltern. Wie groß ist die Fläche des krummlinigen Dreiecks zwischen ihnen? Dies ist eine einfache Aufgabe; Die Antwort ist auf demselben Foto. Wir sind nicht überrascht, dass es in der Formel vorkommt – schließlich ist dort, wo Rundheit ist, auch Pi.

Ich habe ein möglicherweise unbekanntes Wort verwendet:. So heißt die Zahl Pi im deutschsprachigen Raum, und das alles dank des Holländers (eigentlich ein Deutscher, der in den Niederlanden lebte - Nationalität spielte damals keine Rolle), Ludolph von Seulena... 1596 gr. Er berechnete 35 Stellen seiner Erweiterung auf Dezimalzahlen. Dieser Rekord dauerte bis 1853, als William Rutherford gezählt 440 Plätze. Der Rekordhalter für manuelle Berechnungen ist (wahrscheinlich für immer) William Shanks, der nach langjähriger Arbeit veröffentlichte (1873) Erweiterung auf 702 Ziffern. Erst 1946 stellte sich heraus, dass die letzten 180 Ziffern falsch waren, aber das blieb auch so. 527 ist richtig. Es war interessant, den Fehler selbst zu finden. Kurz nach der Veröffentlichung des Ergebnisses vermutete Shanks, dass „etwas nicht stimmte“ – es befanden sich verdächtig wenige Siebener in der Entwicklung. Eine noch unbewiesene Hypothese (Dezember 2020) besagt, dass alle Zahlen gleich häufig vorkommen sollten. Dies veranlasste D. T. Ferguson, Shanks‘ Berechnungen zu überdenken und einen Schülerfehler zu finden!

Später halfen Taschenrechner und Computer den Menschen. Der aktuelle (Dezember 2020) Rekordhalter ist Timothy Mullican (50 Billionen Dezimalstellen). Die Berechnungen dauerten... 303 Tage. Spielen wir mal: Wie viel Platz würde diese Zahl einnehmen, wenn sie in einem Standardbuch abgedruckt wäre? Bis vor Kurzem umfasste die gedruckte „Seite“ des Textes 1800 Zeichen (30 Zeilen à 60 Zeilen). Reduzieren wir die Anzahl der Zeichen und Seitenränder, stopfen 5000 Zeichen auf eine Seite und drucken Bücher mit 50 Seiten. Somit würden XNUMX Billionen Zeichen zehn Millionen Bücher beanspruchen. Nicht schlecht, oder?

Die Frage ist: Was ist der Sinn eines solchen Kampfes? Warum sollte aus rein wirtschaftlicher Sicht der Steuerzahler für eine solche „Unterhaltung“ von Mathematikern bezahlen? Die Antwort ist nicht kompliziert. Erste, aus Seulen erfand Leerzeichen für Berechnungen, dann nützlich für logarithmische Berechnungen. Wenn sie ihm sagten: Bitte bauen Sie Rohlinge, würde er antworten: Warum? Ähnlicher Befehl: Wie Sie wissen, war diese Entdeckung nicht ganz zufällig, sondern dennoch ein Nebenprodukt einer anderen Art von Forschung.

Zweitens lesen wir, was er schreibt Timothy Mullican. Hier ist eine Reproduktion des Beginns seiner Arbeit. Professor Mullican arbeitet im Bereich Cybersicherheit, und Pi-Zahlen sind ein kleines Hobby, bei dem er lediglich sein neues Cybersicherheitssystem testete.

Aber dass 3,14159 im Ingenieurwesen mehr als genug ist, das ist eine andere Sache. Machen wir eine einfache Rechnung. Jupiter ist 4,774 Tm von der Sonne entfernt (Terameter = 1012 Meter). Um den Umfang eines solchen Kreises mit einem solchen Radius mit einer absurden Genauigkeit von 1 Millimeter zu berechnen, würde es ausreichen, π = 3,1415926535897932 anzunehmen.

Das folgende Foto zeigt einen Viertelkreis aus Legosteinen. Ich habe 1774 Pads verwendet und der Pi lag bei etwa 3,08. Nicht das Beste, aber was kann man erwarten? Aus Quadraten lässt sich kein Kreis bilden.

Genau. Die Zahl π ist dafür bekannt quadratischer Zirkel - ein mathematisches Problem, das seit mehr als 2000 Jahren auf seine Lösung wartet - seit griechischer Zeit. Können Sie mit Zirkel und Lineal ein Quadrat konstruieren, dessen Fläche gleich der Fläche des gegebenen Kreises ist?

Auch der Begriff „Kreisquadrat“ hat als Symbol für etwas Unmögliches Einzug in die Umgangssprache gehalten. Ich drücke die Taste und frage: Ist das ein Versuch, den Graben der Feindseligkeit zu füllen, der die Bürger unseres schönen Landes trennt? Aber ich meide dieses Thema bereits, weil ich wahrscheinlich nur in Mathematik ein gutes Gefühl habe.

Und wieder dasselbe - die Lösung des Problems der Quadratur des Kreises erschien nicht so, dass der Autor der Lösung, Charles Lindemann1882 war er entschlossen und hatte schließlich Erfolg. Teilweise ja, aber es war das Ergebnis eines Angriffs von breiter Front. Mathematiker haben gelernt, dass es verschiedene Arten von Zahlen gibt. Nicht nur ganze Zahlen, rationale (d. h. Brüche) und irrationale. Unmessbarkeit kann auch besser oder schlechter sein. Wir erinnern uns vielleicht aus der Schule, dass eine irrationale Zahl √2 ist, eine Zahl, die das Verhältnis der Länge der Diagonale eines Quadrats zur Länge seiner Seite ausdrückt. Wie jede irrationale Zahl hat sie eine unbestimmte Erweiterung. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die periodische Expansion eine Eigenschaft rationaler Zahlen ist, d. h. private Ganzzahlen:

Hier wiederholt sich die Zahlenfolge 142857 unendlich, bei √2 wird das nicht passieren - das ist Teil der Irrationalität. Doch kannst du:

(Die Fraktion bleibt für immer bestehen). Wir sehen hier ein Muster, aber von anderer Art. Pi ist nicht einmal so verbreitet. Sie kann nicht durch Lösen einer algebraischen Gleichung ermittelt werden – also einer Gleichung, in der es keine Quadratwurzel, keinen Logarithmus und keine trigonometrischen Funktionen gibt. Dies zeigt bereits, dass es nicht konstruierbar ist – das Zeichnen von Kreisen führt zu quadratischen Funktionen und Linien – Geraden – zu Gleichungen ersten Grades.

Vielleicht bin ich von der Haupthandlung abgewichen. Erst die Entwicklung der gesamten Mathematik ermöglichte die Rückkehr zu den Wurzeln – zur alten schönen Mathematik der Denker, die für uns die europäische Denkkultur geschaffen haben, die heute von manchen so zweifelhaft ist.

Aus einer Vielzahl repräsentativer Muster habe ich zwei ausgewählt. Den ersten davon verknüpfen wir mit dem Nachnamen Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Aber er war dem mittelalterlichen hinduistischen Gelehrten Madhava des Sangamagram (1350-1425) bekannt (Modell, nicht Leibniz). Die Informationsübertragung war damals nicht so toll - Internetverbindungen waren oft fehlerhaft, und es gab keine Batterien für Mobiltelefone (weil die Elektronik noch nicht erfunden war!). Die Formel ist schön, aber für Berechnungen unbrauchbar. Aus hundert Zutaten werden „nur“ 3,15159 gewonnen.

er ist etwas besser Viètes Formel (diejenige aus quadratischen Gleichungen), und ihre Formel ist einfach zu programmieren, da der nächste Term im Produkt die Quadratwurzel des vorherigen Termes plus zwei ist.

Wir wissen, dass der Kreis rund ist. Wir können sagen, dass dies eine 100-Prozent-Runde ist. Ein Mathematiker wird fragen: Kann etwas nicht 1 Prozent rund sein? Anscheinend handelt es sich hierbei um ein Oxymoron, eine Phrase, die einen versteckten Widerspruch enthält, etwa „heißes Eis“. Aber versuchen wir zu messen, wie rund die Zahlen sein können. Es stellt sich heraus, dass ein gutes Maß durch die folgende Formel gegeben ist, in der S die Fläche und L der Umfang der Figur ist. Finden wir heraus, dass der Kreis wirklich rund ist, dass Sigma gleich 6 ist. Die Fläche eines Kreises ist der Umfang. Wir fügen ein... und schauen, was richtig ist. Wie rund ist ein Quadrat? Die Berechnungen sind genauso einfach, ich werde sie nicht einmal angeben. Nehmen wir ein regelmäßiges Sechseck, das in einen Kreis mit einem Radius eingeschrieben ist. Der Umfang beträgt offensichtlich XNUMX.

Pole

Wie wäre es mit einem regelmäßigen Sechseck? Sein Umfang beträgt 6 und seine Fläche beträgt

Also haben wir

was ungefähr 0,952 entspricht. Das Sechseck ist zu über 95 % „rund“.

Ein interessantes Ergebnis erhält man bei der Berechnung der Rundheit eines Sportstadions. Laut IAAF-Regeln müssen Geraden und Kurven 40 Meter lang sein, wobei Abweichungen erlaubt sind. Ich erinnere mich, dass das Bislet-Stadion in Oslo schmal und lang war. Ich schreibe "war", weil ich sogar darauf gelaufen bin (für einen Amateur!), Aber vor mehr als XNUMX Jahren. Schauen wir mal:

Wenn ein Bogen einen Radius von 100 Metern hat, beträgt der Radius dieses Bogens Meter. Die Fläche des Rasens beträgt Quadratmeter, die Fläche außerhalb davon (wo sich Sprungbretter befinden) summiert sich auf Quadratmeter. Setzen wir das in die Formel ein:

Hat die Rundheit eines Sportstadions also etwas mit einem gleichseitigen Dreieck zu tun? Denn die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist gleich oft so groß wie seine Seite. Es ist ein zufälliges Zusammentreffen von Zahlen, aber es ist schön. Ich mag es. Was ist mit den Lesern?

Nun, es ist gut, dass es rund ist, auch wenn einige vielleicht argumentieren, dass das Virus, das uns alle betrifft, rund ist. Zumindest zeichnen sie es so.