Gleichungen, Codes, Chiffren, Mathematik und Poesie

Michal Shurek sagt über sich: „Ich bin 1946 geboren. Ich habe 1968 meinen Abschluss an der Universität Warschau gemacht und arbeite seitdem an der Fakultät für Mathematik, Informatik und Mechanik. Wissenschaftliche Spezialisierung: Algebraische Geometrie. Ich habe mich kürzlich mit Vektorbündeln beschäftigt. Was ist ein Vektorstrahl? Die Vektoren müssen also fest mit einem Faden verbunden werden, und wir haben bereits einen Haufen. Mein befreundeter Physiker Anthony Sim hat mich dazu gebracht, dem Young Technician beizutreten (er gibt zu, dass er Lizenzgebühren von meinen Gebühren erhalten sollte). Ich habe ein paar Artikel geschrieben und bin dann geblieben, und seit 1978 können Sie jeden Monat lesen, was ich über Mathematik denke. Ich liebe Berge und trotz Übergewicht versuche ich zu laufen. Ich denke, die Lehrer sind das Wichtigste. Ich würde Politiker, was auch immer ihre Möglichkeiten sind, in einem schwer bewachten Bereich halten, damit sie nicht entkommen können. Einmal täglich füttern. Ein Beagle aus Tulek mag mich.

Eine Gleichung ist wie eine Chiffre für einen Mathematiker. Das Lösen von Gleichungen, die Quintessenz der Mathematik, ist das Lesen von Chiffretext. Dies wurde von Theologen seit dem XNUMX. Jahrhundert bemerkt. Johannes Paul II., der sich mit Mathematik auskannte, schrieb und erwähnte dies mehrmals in seinen Predigten – leider sind die Fakten aus meinem Gedächtnis gelöscht.

In der Schulwissenschaft wird es präsentiert Pythagoras als Autor eines Satzes über eine bestimmte Abhängigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck. So wurde es Teil unserer eurozentrischen Philosophie. Und doch hat Pythagoras noch viel mehr Verdienste. Er war es, der seinen Schülern die Verantwortung auferlegte, „die Welt zu erkunden“, von „Was verbirgt sich hinter diesem Hügel?“ bevor ich die Sterne studiere. Aus diesem Grund haben die Europäer alte Zivilisationen „entdeckt“ und nicht umgekehrt.

Einige Leser erinnern sich:Viète-Musterund auch"; Viele ältere Leser erinnern sich an den Begriff selbst aus der Schule und ungefähr daran, dass die Frage in quadratischen Gleichungen auftauchte. Diese Regelmäßigkeiten sind „ideologisch“ Verschlüsselung Informationen.

Kein Wunder: eins Francois Viette (1540-1603) beschäftigte sich am Hofe Heinrichs IV. (dem ersten französischen König aus der Bourbonen-Dynastie, 1553-1610) mit Kryptographie und schaffte es, den von den Briten im Krieg mit Frankreich verwendeten Code zu knacken. Damit spielte er die gleiche Rolle wie die polnischen Mathematiker (angeführt von Marian Rejewski), die vor dem Zweiten Weltkrieg die Geheimnisse der deutschen Verschlüsselungsmaschine Enigma entdeckten.

Modethema

Genau. Das Thema „Codes und Chiffren“ ist in der Lehre längst in Mode gekommen. Darüber habe ich bereits mehrfach geschrieben, in zwei Monaten wird es eine weitere Folge geben. Dieses Mal schreibe ich unter dem Eindruck eines Films über den Krieg von 1920, in dem der Sieg größtenteils auf den Bruch des Codes der bolschewistischen Truppen durch ein von damals jungen Leuten angeführtes Team zurückzuführen war Wacław Sierpinski (1882-1969). Nein, das ist noch nicht Enigma, das ist nur eine Einführung. Ich erinnere mich an eine Szene aus dem Film, in der Józef Pilsudski (gespielt von Daniil Olbrychski) zum Leiter der Chiffrierabteilung sagt:

Die entschlüsselten Nachrichten enthielten eine wichtige Botschaft: Tuchatschewskis Truppen würden keine Unterstützung erhalten. Du kannst angreifen!

Ich kannte Waclaw Sierpinski (wenn ich das so sagen kann: ich war ein junger Student, er war ein berühmter Professor), besuchte seine Vorlesungen und Seminare. Er machte den Eindruck eines verwelkten, geistesabwesenden Wissenschaftlers, der mit seiner Disziplin beschäftigt war und die andere Welt nicht sah. Er hielt seinen Vortrag gezielt, mit Blick auf die Tafel und nicht auf das Publikum ... aber er fühlte sich wie ein herausragender Spezialist. Auf die eine oder andere Weise verfügte er über bestimmte mathematische Fähigkeiten – zum Beispiel zur Lösung von Problemen. Es gibt andere – Wissenschaftler, die relativ schlecht darin sind, Rätsel zu lösen, aber ein tiefes Verständnis der gesamten Theorie haben und in der Lage sind, ganze Bereiche der Kreativität zu initiieren. Wir brauchen beides – wobei Ersteres schneller gehen wird.

Waclaw Sierpinski sprach 1920 nie über seine Leistungen. Bis 1939 musste dies unbedingt geheim gehalten werden, und nach 1945 genossen diejenigen, die mit Sowjetrussland kämpften, nicht die Sympathie der damaligen Behörden. Mein Glaube, dass Wissenschaftler wie eine Armee gebraucht werden, hat sich bestätigt: „nur für den Fall.“ Hier ruft Präsident Roosevelt Einstein an:

Der herausragende russische Mathematiker Igor Arnold sagte offen und traurig, dass der Krieg einen großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik und Physik hatte (Radar und GPS hatten auch einen militärischen Ursprung). Auf den moralischen Aspekt des Atombombeneinsatzes gehe ich nicht ein: Da ist die Verlängerung des Krieges um ein Jahr und der Tod mehrerer Millionen eigener Soldaten - da ist das Leid unschuldiger Zivilisten.

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Ich renne weg in vertraute Gegenden - k. Viele von uns haben mit den Codes gespielt, vielleicht Scouting, vielleicht einfach so. Einfache Chiffren, die auf dem Prinzip des Ersetzens von Buchstaben durch andere Buchstaben oder andere Zahlen basieren, werden routinemäßig gebrochen, wenn wir nur wenige Hinweise finden (z. B. den Namen des Königs erraten). Auch statistische Auswertungen helfen heute. Schlimmer noch, wenn alles veränderbar ist. Aber das Schlimmste ist, wenn es keine Regelmäßigkeit gibt. Betrachten Sie den in Die Abenteuer des braven Soldaten Schweik beschriebenen Code. Nehmen Sie zum Beispiel ein Buch, The Flood. Hier sind die Vorschläge auf der ersten und zweiten Seite.

Wir wollen das Wort „CAT“ kodieren. Öffnen Sie Seite 1 und die angrenzende zweite Seite. Wir stellen fest, dass auf Seite 1 der Buchstabe K zum ersten Mal an 59. Stelle erscheint. Das neunundfünfzigste Wort finden wir auf der gegenüberliegenden, anderen Seite. Das ist das Wort „a“. Jetzt steht der Buchstabe O. Links steht das 16. Wort und das sechzehnte rechts ist „Mr.“ Der Buchstabe T steht an der 95. Stelle, wenn ich richtig gezählt habe, und das fünfundneunzigste Wort von rechts ist „o“. Also, KAT = 1 LORD O.

Eine „nicht zu erratende“ Chiffre, wenn auch äußerst langsam sowohl bei der Verschlüsselung als auch beim Raten. Nehmen wir an, wir möchten den Buchstaben M übermitteln. Wir können prüfen, ob wir ihn mit dem Wort „Wołodyjowski“ kodieren. Und nach uns bereiten sie bereits eine Gefängniszelle vor. Wir können nur mit einem Ersatz rechnen! Darüber hinaus stellt die Spionageabwehr Berichte von Geheimagenten fest, wonach Kunden schon seit einiger Zeit bereitwillig den ersten Band von „Die Sintflut“ kaufen.

Mein Artikel ist ein Beitrag zu dieser These: Selbst die bizarrsten Ideen der Mathematiker können in der allgemein verstandenen Praxis Anwendung finden. Ist es zum Beispiel möglich, sich eine weniger nützliche mathematische Entdeckung vorzustellen als den Test der Teilbarkeit ... durch 47?

Wann werden wir es im Leben brauchen? Und wenn ja, wird es einfacher sein, zu versuchen, es zu trennen. Wenn es sich spaltet, dann ist es gut, wenn nicht, dann... ist es ein sekundäres Gut (wir wissen, dass es nicht spaltet).

Wie man teilt und warum

Lassen Sie uns nach dieser Einführung weitergehen zu: Kennen Sie, liebe Leser, Anzeichen für Teilbarkeit? Definitiv. Gerade Zahlen enden auf 2, 4, 6, 8 oder Null. Eine Zahl ist durch drei teilbar, wenn ihre Quersumme durch drei teilbar ist. Ähnlich verhält es sich mit dem Zeichen der Teilbarkeit durch neun – die Quersumme muss durch neun teilbar sein.

Wer braucht es? Ich würde lügen, wenn ich den Vorleser davon überzeugen würde, dass er für etwas anderes gut ist als ... Schularbeiten. Nun ja, und auch die Funktion der Teilbarkeit durch 4 (was ist das, lieber Leser? Vielleicht nutzen Sie sie, wenn Sie herausfinden möchten, in welchem ​​Jahr die nächsten Olympischen Spiele stattfinden ...). Aber wie sieht es mit dem Merkmal der Teilbarkeit durch 47 aus? Das bereitet schon Kopfzerbrechen. Werden wir jemals wissen, ob etwas durch 47 teilbar ist? Wenn ja, dann nehmen wir einen Taschenrechner und sehen nach.

Das. Sie haben Recht, Leser. Lesen Sie trotzdem weiter. Bitte.

Beweis der Teilbarkeit durch 47: Die Zahl 100+ ist genau dann durch 47 teilbar, wenn 47 durch +8 teilbar ist.

Der Mathematiker wird zufrieden lächeln: „Mensch, hübsch.“ Aber Mathematik ist Mathematik. Beweise sind wichtig, und wir achten auf ihre Schönheit. Wie können wir unser Merkmal beweisen? Es ist sehr einfach. Subtrahiere von 100 + der Zahl 94 - 47 = 47 (2 -). Wir erhalten 100+-94+47=6+48=6(+8).

Wir haben eine Zahl subtrahiert, die durch 47 teilbar ist. Wenn also 6 (+ 8) durch 47 teilbar ist, dann ist dies auch 100 +. Aber 6 ist teilerfremd zu 47, was bedeutet, dass 6 (+ 8) genau dann durch 47 teilbar ist, wenn es gleich + 8 ist. Ende des Beweises.

Mal sehen Einige Beispiele.

8805685 ist durch 47 teilbar? Ob uns das wirklich interessiert, werden wir früher herausfinden, indem wir uns einfach aufteilen, wie es uns in der Grundschule beigebracht wurde. Auf die eine oder andere Weise verfügt mittlerweile jedes Mobiltelefon über einen Taschenrechner. Geteilt? Ja, privat 187355.

Mal sehen, was uns das Zeichen der Teilbarkeit sagt. Wir trennen die letzten beiden Ziffern, multiplizieren sie mit 8, addieren das Ergebnis zur „abgeschnittenen Zahl“ und machen dasselbe mit der resultierenden Zahl.

8805685 → 88056 + 8·85 = 88736 → 887 + 8·36 = 1175 → 11 + 8·75 = 611 → 6 + 8·11 = 94.

Wir sehen, dass 94 durch 47 teilbar ist (der Quotient ist 2), was bedeutet, dass die ursprüngliche Zahl teilbar ist. Großartig. Aber was ist, wenn wir weiterhin Spaß haben?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Jetzt müssen wir aufhören. Siebenundvierzig ist durch 47 teilbar, oder?

Müssen wir wirklich aufhören? Was ist, wenn wir noch weiter gehen? Oh mein Gott, alles kann passieren ... Ich werde die Details überspringen. Vielleicht nur der Anfang:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Aber leider macht es genauso süchtig wie das Kauen von Samen ...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, siebenundvierzig. Es ist schon einmal passiert. Was weiter? . Dasselbe. Die Zahlen durchlaufen eine Schleife wie folgt:

Das ist tatsächlich interessant. Diese Anzahl von Schleifen.

Zwei folgende Beispiele.

Wir wollen wissen, ob 10017627 durch 47 teilbar ist. Warum brauchen wir dieses Wissen? Wir erinnern uns an den Grundsatz: Wehe dem Wissen, das dem Wissenden nicht hilft. Wissen ist immer für etwas da. Es wird für irgendetwas sein, aber jetzt werde ich mich nicht erklären. Noch ein paar Konten:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

„Er hat seinen Onkel von einer Axt in einen Stock verwandelt.“ Was haben wir von all dem?

Nun, wiederholen wir den Ablauf des Verfahrens. Das heißt, wir werden dies weiterhin tun (dh das Wort „iterate“).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Stoppen wir das Spiel und dividieren wie in der Schule (oder am Taschenrechner): 235 = 5 47. Bingo. Die ursprüngliche Zahl 10017627 ist durch 47 teilbar.

Bravo an uns!

Was ist, wenn wir noch weiter gehen? Glauben Sie mir, Sie können es überprüfen.

Und noch eine interessante Tatsache. Wir wollen prüfen, ob 799 durch 47 teilbar ist. Wir verwenden die Teilbarkeitsfunktion. Wir trennen die letzten beiden Ziffern, multiplizieren die resultierende Zahl mit 8 und addieren zum Rest:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Was wir haben? Die Zahl 799 ist genau dann durch 47 teilbar, wenn 799 durch 47 teilbar ist? Ja, alles stimmt, aber dafür braucht man keine Mathematik!!! Die Butter ist ölig (zumindest diese Butter ist ölig).

Über das Blatt, Piraten und das Ende der Witze!

Noch zwei Gleichnisse. Wo kann man das Blatt am besten verstecken? Die Antwort liegt auf der Hand: im Wald! Aber wie kann man es später finden?

Das zweite kennen wir aus Büchern über Piraten, die wir vor langer Zeit gelesen haben. Die Piraten erstellten eine Karte des Ortes, an dem sie den Schatz vergraben hatten. Andere haben es entweder gestohlen oder im Kampf gewonnen. Auf der Karte war jedoch nicht angegeben, für welche Insel es sich handelte. Und schauen Sie selbst! Natürlich haben die Piraten das verkraftet (Folter) – die Chiffren, von denen ich spreche, können mit diesen Methoden auch extrahiert werden.

Ende der Witze. Leser! Wir erstellen eine Chiffre. Ich bin ein Undercover-Spion und benutze "Junior Technician" als meine Kontaktbox. Leiten Sie verschlüsselte Nachrichten wie folgt weiter.

Wandeln Sie den Text zunächst mit dem folgenden Code in eine Zahlenfolge um: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Wie Sie sehen können, verwenden wir keine polnischen diakritischen Zeichen (d. h. ohne ą, ę, ć, ń, ó, ś) und nicht-polnisches q, v – aber das nicht-polnische x bleibt für alle Fälle übrig. Fügen wir weitere 25 als Leerzeichen (Leerzeichen zwischen Wörtern) ein. Oh, das Wichtigste. Bitte Code Nr. 47 verwenden.

Du weisst, was das bedeutet. Du gehst zu einem befreundeten Mathematiker.

Die Augen des Freundes weiteten sich überrascht.

Sie antworten stolz:

Ein Mathematiker nennt Ihnen diese Eigenschaft ... und Sie wissen bereits, dass die Verschlüsselung eine unauffällige Funktion verwendet

denn ein solches Muster ist die beschriebene Aktion

100+→+8.

Wenn Sie also herausfinden möchten, was eine Zahl wie 77777777 in einer verschlüsselten Nachricht bedeutet, verwenden Sie die Funktion

100+→+8

bis Sie eine Zahl zwischen 1 und 25 erhalten. Schauen Sie sich nun den expliziten alphanumerischen Code an. Mal sehen: 77777777 →... Das überlasse ich Ihnen als Auftrag. Aber mal sehen, was sich hinter dem Buchstaben 48 verbirgt? Lass uns lesen:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Dann erhalten wir wiederum:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...

Ein Ende ist nicht in Sicht. Erst nach dem sechzigsten (!) Mal erscheint eine Zahl kleiner als 25. Das ist 3, was bedeutet, dass 48 der Buchstabe C ist.

Und was gibt uns diese Botschaft? (Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir die Codenummer 47 verwenden):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Nun, denken Sie nur darüber nach, was hier kompliziert ist, einige Rechnungen. Wir haben begonnen. In den frühen 80ern. Eine bekannte Regel:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Es geht so weiter:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Essen! Der erste Buchstabe der Nachricht ist K. Puh, einfach, aber wie lange wird es dauern?

Sehen wir uns auch an, wie viel Mühe wir mit der Zahl 1234567 haben. Erst beim sechzehnten Mal bekommen wir eine Zahl kleiner als 25, nämlich 12. 1234567 ist also L.

Okay, mögen manche sagen, aber diese Rechenoperation ist so einfach, dass die Programmierung auf einem Computer den Code sofort kaputt machen würde. Ja es ist wahr. Das sind einfache Computerberechnungen. Idee mit öffentliche Chiffre Und es geht auch darum, dem Computer Berechnungen zu erschweren. Lassen Sie es mindestens hundert Jahre lang funktionieren. Wird er die Nachricht entschlüsseln? Nicht wichtig. Es wird für lange Zeit keine Rolle mehr spielen. Darum geht es (mehr oder weniger) bei öffentlichen Chiffren. Sie können kaputt gehen, wenn Sie sehr lange arbeiten ... bis die Nachrichten nicht mehr relevant sind.

 es führte immer zu „Anti-Waffenismus“. Alles begann mit einem Schwert und einem Schild. Die Geheimdienste zahlen begabten Mathematikern riesige Geldsummen, um Verschlüsselungsmethoden zu erfinden, die Computer (einschließlich der von uns erstellten) im XNUMX. Jahrhundert nicht knacken können.

Zweiundzwanzigstes Jahrhundert? Es ist nicht so schwer zu wissen, dass es bereits viele Menschen auf der Welt gibt, die in diesem wunderbaren Jahrhundert leben werden!

Ach was? Was ist, wenn ich (mich, den vom „jungen Techniker“ kontaktierten Geheimoffizier) bitte, mit der Codenummer 23 zu verschlüsseln? Oder 17? Einfach:

Mögen wir niemals die Mathematik für solche Zwecke nutzen müssen.

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Titel eines Artikels über Poesie. Warum sollte es sie interessieren?

Wie was? Poesie verschlüsselt auch die Welt.

Wie?

Durch ihre Methoden - ähnlich wie die algebraischen.