Abelya-Preis
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Nur wenige Leser werden etwas über den Namen Abel sagen. Nein, wir sprechen nicht über den unglücklichen jungen Mann, der von seinem eigenen Bruder Kain getötet wurde. Ich beziehe mich auf den norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802–1829) und den nach ihm benannten Preis, der gerade (16. März 2016) von der Norwegischen Akademie der Wissenschaften und Briefe an Sir Andrew J. Wiles verliehen wurde. Dies entschädigt die Mathematiker dafür, dass sie von Alfred Nobel in der Rangliste der Kategorien des weltweit wichtigsten Wissenschaftspreises nicht berücksichtigt wurden.
Obwohl Mathematiker das sogenannte schätzen Fields-Medaille (Offiziell gilt er als der höchste Lorbeer seiner Art) und wird nur mit 15 Exemplaren in Verbindung gebracht. (nicht Millionen, sondern Tausende!) Kanadische Dollar, bis zum Gewinner Abel-Preise steckt einen Scheck über 6 Millionen Norwegische Kronen (ca. 750 Euro) in die Tasche. Nobelpreisträger erhalten 8 Millionen SEK oder etwa 865 Tausend. Euro - weniger als Tennisspieler für den Gewinn eines großen Turniers. Es gibt mehrere wahrscheinliche Gründe, warum Alfred Nobel Mathematiker nicht zu den möglichen Preisträgern zählte. In Nobels Testament ging es um „Erfindungen und Entdeckungen“, die der Menschheit den größten Nutzen bringen, aber wohl nicht theoretisch, sondern praktisch. Mathematik galt nicht als Wissenschaft, die der Menschheit praktischen Nutzen bringen könnte.
Warum Abel
Wer war Niels Henrik Abel und was hat ihn berühmt gemacht? Er muss ein Genie gewesen sein, denn obwohl er im Alter von nur 27 Jahren an Tuberkulose starb, gelang es ihm, sich in der Mathematik einen bleibenden Namen zu machen. Nun, schon in der Mittelstufe bringen sie uns bei, wie man Gleichungen löst; zuerst vom ersten Grad, dann quadratisch und manchmal kubisch. Bereits vor vierhundert Jahren konnten italienische Wissenschaftler damit umgehen... Gleichung vierten Gradessogar der, der unschuldig aussieht:
und davon eines der Elemente
Ja, Wissenschaftler hätten dies bereits im XNUMX. Jahrhundert tun können. Es ist nicht schwer zu erraten, dass Gleichungen höheren Grades berücksichtigt wurden. Und nichts. Zweihundert Jahre lang ist es niemandem gelungen. Auch Niels Abel scheiterte. Und dann wurde ihm klar, dass... das vielleicht völlig unmöglich war. Es lässt sich beweisen Unmöglichkeit, eine solche Gleichung zu lösen - oder vielmehr die Lösung in einfachen arithmetischen Formeln ausdrücken.
Es war das erste von 2. Jahren (!) dieser Art von Argumentation: etwas kann man nicht beweisen, etwas kann man nicht tun. Das Monopol auf solche Beweise gehört der Mathematik – die praktischen Wissenschaften brechen immer mehr Grenzen ein. 1888 erklärte der Vorsitzende der US-Patentkommission, dass "wenige Erfindungen in der Zukunft zu erwarten sind, weil fast alles bereits erfunden wurde". Heute fällt es uns schwer, darüber auch nur zu lachen ... Aber in der Mathematik ist es, einmal bewiesen, verloren. Es geht nicht.
Die Geschichte teilt die Entdeckung, die ich beschrieben habe, zwischen Niels Abel i Evariste Galois, die beide vor ihrem dreißigsten Lebensjahr als „Auserwählte der Götter“ starben, ohne dass ihre Zeitgenossen sie würdigten. Niels Abel ist einer der wenigen norwegischen Mathematiker mit großem Ruhm (eigentlich zwei, der zweite ist ... Sophus Lee, 1842-1899 – die Nachnamen klingen nicht skandinavisch, aber beide waren gebürtige Norweger).
Norweger sind mit den Schweden uneins - leider ist das bei Nachbarvölkern üblich. Eines der Motive für die Einrichtung des Abel-Preises durch die Norweger war der Wunsch, ihren Landsleuten Alfred Nobel zu zeigen: Bitte, wir sind nicht schlechter.
Jagd auf einen nicht existierenden Margin-Eintrag
So viel zu Niels Henrik Abel. Nun zum Preisträger, einem 63-jährigen Engländer (lebt in den USA). Seine Leistung im Jahr 1993 konnte nur mit der Besteigung des Everest, einem Spaziergang auf dem Mond oder ähnlichem verglichen werden. Wer ist Herr? Andrew Wiles? Wenn man sich seine Publikationsliste und die verschiedenen möglichen Zitierregister anschaut, ist er ein guter Wissenschaftler – und zwar Tausende davon. Er gilt jedoch als einer der größten Mathematiker. Seine Forschung liegt in der Zahlentheorie und nutzt Beziehungen mit algebraische Geometrie Oraz Darstellungstheorie.
Berühmt wurde er durch die Lösung eines Problems, das aus mathematischer Sicht völlig irrelevant war Beweis von Fermats letztem Satz (Diejenigen, die nicht wissen, wovon ich spreche – ich erinnere Sie unten daran). Der wahre Wert lag jedoch nicht in der Lösung selbst, sondern in der Schaffung einer neuen Forschungsmethode, mit der viele andere wichtige Probleme gelöst werden konnten.
Es ist unmöglich, in diesem Moment nicht über die Bedeutung bestimmter Dinge und über die Hierarchie menschlicher Errungenschaften nachzudenken. Hunderttausende junge Menschen träumen davon, einen Ball besser zu treten als andere, Zehntausende wollen sich den Himalaya-Winden aussetzen, von Gummibändern auf einer Brücke springen, Geräusche machen, die sie Gesang nennen, ungesundes Essen in andere hineinschieben … oder Lösen Sie eine Gleichung, die niemand braucht. . Der erste Eroberer des Mount Everest, Sir Edward HillaryAuf die Frage, warum er dorthin gegangen sei, antwortete er direkt: „Weil er ist, weil Everest ist!“ Der Autor dieser Worte war sein ganzes Leben lang Mathematiker, es war mein Lebensrezept. Das einzig Richtige! Aber bringen wir diese Philosophie hinter uns. Kommen wir zurück auf den gesunden Pfad der Mathematik. Warum all die Aufregung um den Satz von Fermat?
Ich denke, wir alle wissen, was sie sind Primzahlen. Sicherlich versteht jeder den Ausdruck „in Primfaktoren zerlegen“, besonders wenn unser kleiner Sohn eine Uhr in Teile zerlegt.
Pierre de Fermat (1601-1665) war ein Anwalt aus Toulouse, aber er war auch ein Amateur in Mathematik, mit recht guten Ergebnissen, da er als Autor zahlreicher Theoreme der Zahlentheorie und -analyse in die Geschichte der Mathematik einging. Er hatte die Angewohnheit, seine Notizen und Kommentare am Rand der Bücher zu platzieren, die er las. Und das stimmt – um 1660 schrieb er an einen Rand:
So viel zu Pierre de Fermat. Seit seiner Zeit (und ich möchte Sie daran erinnern, dass der tapfere Gascogne-Adlige d'Artagnan zu dieser Zeit in Frankreich lebte und Andrzej Kmicic in Polen mit Boguslaw Radziwill kämpfte) versuchten Hunderte, vielleicht sogar Tausende großer und kleiner Mathematiker erfolglos, dies zu rekonstruieren die verlorenen Überlegungen des brillanten Amateurs. Obwohl wir heute sicher sind, dass Fermats Beweis nicht korrekt sein kann, war es ärgerlich, dass die einfache Frage von Gleichung xn + dun = dn, n> 2 hat Lösungen in natürlichen Zahlen? kann so schwierig sein.
Viele Mathematiker, die am 23. Juni 1993 zur Arbeit kamen, fanden in ihrer E-Mail (die damals eine neue, noch warme Erfindung war) eine lakonische Nachricht: „Gerüchte aus Großbritannien: Wiles beweist Fermat.“ Am nächsten Tag schrieb auch die Tagespresse darüber, und die letzte Vortragsreihe von Wiles versammelte Presse, Fernsehen und Fotojournalisten – ganz wie auf einer Konferenz eines berühmten Fußballspielers.
Jeder, der „Satan ab der siebten Klasse“ von Kornel Makuszyński gelesen hat, erinnert sich sicherlich daran, was Herr Iwo Gąsowski getan hat, der Bruder des Geschichtsprofessors, dessen Befragungssystem für Schüler von Adaś Cisowski entdeckt wurde. Iwo Gąsowski löste Fermats Gleichung, verschwendete Zeit und Geld und vernachlässigte sein Zuhause:
Schließlich erkannte Herr Iwo, dass hohe Rechnungen das Glück seiner Familie nicht garantieren würden, und gab auf. Makuszyński mochte die Wissenschaft nicht, aber mit Herrn Gąsowski hatte er recht. Iwo Gąsowski hat einen grundlegenden Fehler gemacht. Er hat nicht versucht, ein Spezialist im guten Sinne des Wortes zu werden, er hat sich einfach wie ein Amateur verhalten. Andrew Wiles ist ein Profi.
Die Geschichte des Kampfes mit Fermats letztem Satz ist interessant. Man erkennt ganz einfach, dass es ausreicht, sie nach Exponenten aufzulösen, die Primzahlen sind. Für n = 3 wurde die Lösung 1770 angegeben. Leonhard Euler, für n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) und Adrienne Marie Legendre 1830 und bei n = 7 – Gabriel Lame im Jahr 1840. Im XNUMX. Jahrhundert widmete der deutsche Mathematiker den größten Teil seiner Energie dem Fermat-Problem Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Auch wenn ihm der endgültige Erfolg nicht gelang, bewies er viele Spezialfälle und entdeckte viele wichtige Eigenschaften von Primzahlen. Ein Großteil der modernen Algebra, theoretischen Arithmetik und algebraischen Zahlentheorie verdankt seinen Ursprung Kummers Arbeit über den Satz von Fermat.
Bei der Lösung des Fermat-Problems mit den Methoden der klassischen Zahlentheorie wurden sie in zwei unterschiedliche Komplexitätsfälle unterteilt: erstens, wenn wir annehmen, dass das Produkt xyz mit dem Exponenten n teilerfremd ist, und zweitens, wenn die Zahl z gleich teilbar ist der Exponent. Im zweiten Fall war bekannt, dass es bis n = 150 keine Lösungen gab, im ersten Fall bis n = 000 (Lehmer, 6). Dies bedeutete, dass ein mögliches Gegenbeispiel ohnehin unmöglich gewesen wäre: Es wären milliardenstellige Konten erforderlich gewesen, um es zu erhalten.
Hier ist die alte Geschichte für Sie. Anfang 1988 war es in der mathematischen Welt bekannt Yoichi Miyaoka bewies eine Ungleichung, woraus folgte: Wenn nur der Exponent n groß genug ist, dann hat die Fermat-Gleichung offensichtlich keine Lösungen. Im Vergleich zum etwas früheren Ergebnis des Deutschen Gerd Faltings (1983) Miyaokas Ergebnis bedeutete, dass es, wenn es Lösungen gibt, nur eine endliche Anzahl davon gibt (aus Sicht der Proportionalität). Somit reduzierte sich die Lösung des Fermat-Problems auf die Auflistung des Endes vieler Fälle. Wie viele es waren, war leider unbekannt: Die von Miyaoka angewandten Methoden ließen es nicht zu, abzuschätzen, wie viele bereits „in Ordnung“ waren.
Es ist hier erwähnenswert, dass das Studium des Satzes von Fermat viele Jahre lang nicht im Rahmen der reinen Zahlentheorie, sondern im Rahmen der algebraischen Geometrie durchgeführt wurde, einer mathematischen Disziplin, die aus der Algebra abgeleitet ist und eine Erweiterung der kartesischen analytischen Geometrie darstellt. und erstreckt sich mittlerweile fast überall: von den Grundlagen der Mathematik (Theorietopoi in der Logik) über die mathematische Analyse (Kohomologiemethoden, Funktionsgarben), die klassische Geometrie bis hin zur theoretischen Physik (Vektorbündel, Twistorräume, Solitonen).
Wenn Ehrungen keine Rolle spielen
Es ist auch schwer, nicht traurig über das Schicksal des Mathematikers zu sein, dessen Beitrag zur Lösung des Fermat-Problems sehr bedeutend war. Ich spreche von Arakiel (Suren Jurjewitsch Arakelow, ukrainischer Mathematiker mit armenischen Wurzeln), der Anfang der 80er Jahre, als er im vierten Jahr war, das sogenannte schuf. Schnitttheorie über arithmetische Varietäten. Solche Oberflächen sind voller Löcher und Unvollständigkeiten, und die Kurven auf ihnen können plötzlich verschwinden und dann wieder auftauchen. Die Schnittpunkttheorie erklärt, wie man die Schnittgrade solcher Kurven berechnet. Dies war das Hauptwerkzeug, das Faltings und Miyaoka bei ihrer Arbeit zum Fermat-Problem verwendeten.
Eines Tages wurde Arakelov eingeladen, seine Ergebnisse auf einem großen Mathematikkongress vorzustellen. Da er jedoch das Sowjetsystem kritisierte, wurde ihm die Ausreise verweigert. Bald wurde er zur Armee eingezogen. Er machte deutlich, dass er aus pazifistischen Gründen generell gegen den Militärdienst sei. Wie ich aus eher dubiosen Quellen erfuhr, wurde er angeblich in eine geschlossene psychiatrische Klinik eingewiesen, wo er etwa ein Jahr verbrachte. Bekanntlich identifizierten sowjetische Psychiater offenbar aus politischen Gründen eine besondere Form der Schizophrenie (auf Englisch „träge“, was auf Russisch „träge“ bedeutet). leichte Schizophrenie).
Es ist schwierig, hundertprozentig zu sagen, wie es wirklich passiert ist, da meine Informationsquellen nicht sehr zuverlässig sind. Offenbar verbrachte Arakelov nach seiner Entlassung aus dem Krankenhaus mehrere Monate in einem Kloster in Zagorsk. Lebt derzeit mit seiner Frau und seinen drei Kindern in Moskau. Er macht keine Mathematik. Andrew Wiles ist voller Ehren und Geld.
Auch aus Sicht einer wohlgenährten europäischen Gesellschaft ist der Schritt unverständlich Grigory Perelman, der 2002 das berühmteste topologische Problem des XNUMX.Poinari-VermutungUnd dann lehnte er alle möglichen Belohnungen ab. Zuerst die bereits erwähnte Fields-Medaille, die Mathematiker als das Äquivalent des Nobelpreises betrachten, und dann die Auszeichnung in Höhe von einer Million Dollar für die Lösung eines der sieben wichtigsten mathematischen Probleme des XNUMX. Jahrhunderts. „Andere waren besser, Ehrungen sind mir egal, weil Mathe mein Hobby ist, ich habe Essen und Zigaretten“, erzählte er einer mehr oder weniger erstaunten Welt.
Erfolg nach über 300 Jahren
Fermats letzter Satz war sicherlich das berühmteste und beeindruckendste mathematische Problem. Es ist seit über dreihundert Jahren offen, es ist sehr klar und leserlich formuliert und konnte theoretisch von jedem angegriffen werden, und im Zeitalter der weit verbreiteten Nutzung von Computern war es relativ einfach, zu versuchen, einen weiteren Rekord zu brechen Abschätzen möglicher Lösungen. In der Geschichte der Mathematik spielte dieses Thema durch seine inspirierende Rolle eine sehr wichtige „kulturbildende“ Rolle und trug zur Entstehung ganzer mathematischer Disziplinen bei. Das ist seltsam, weil das Problem selbst relativ trivial ist und die Information über das Fehlen von Wurzeln der Fermat-Gleichung nicht viel zum allgemeinen Schatz an mathematischem Wissen beigetragen hat.
Im Jahr 1847 hielt Gabriel Lamé (1795-1870) einen Vortrag an der französischen Akademie der Wissenschaften und verkündete die Lösung des Fermat-Problems. Ein subtiler Denkfehler fiel jedoch sofort auf. Es basierte auf der unbefugten Verwendung des einzigartigen Zerlegungssatzes. Wir erinnern uns aus der Schule, dass jede Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegt ist, zum Beispiel 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Die Zahl 503 hat keine Teiler (außer 1 und 503 selbst), daher kann sie nicht weiter erweitert werden.
Positive ganze Zahlen haben die Eigenschaft einer eindeutigen Verteilung, müssen aber nicht in anderen Zahlenmengen vorkommen. Zum Beispiel für Zeichennummern
wir haben 36 = 2223 ,aber auch
Durch die Analyse von Lames Beweis konnte Kummer die Gültigkeit von Fermats Vermutung für einige Exponenten von p beweisen. Er nannte sie reguläre Primzahlen. Dies war der erste wichtige Schritt zu einem vollständigen Beweis. Um den Satz von Fermat hat sich ein Mythos gebildet. „Oder vielleicht ist es sogar noch schlimmer – vielleicht können Sie nicht einmal beweisen, dass es möglich oder unmöglich ist, es zu lösen?“
Aber seit den 80er Jahren spürten alle, dass das Ziel nah war. Ich erinnere mich, dass die Berliner Mauer noch stand, und ich hörte schon Vorträge über „gleich, gleich“. Nun, jemand musste der Erste sein. Andrew Wiles beendete seinen Vortrag mit einem englischen Phlegma: „Ich glaube, Fermat beweist es“, und es dauerte einige Zeit, bis das dicht gedrängte Publikum begriff, was passiert war: Ein 330 Jahre altes mathematisches Problem wurde von Hunderten von Mathematikern aus den USA intensiv bearbeitet Regiment selbst und unzählige Amateure, wie Ivo Gonsovsky aus Makushinskys Romanen. Und Andrew Wiles hatte die Ehre, Harald V., König von Norwegen, die Hand zu schütteln. Vielleicht hat er die bescheidene Aufwandsentschädigung für den Abel-Preis, etwa mehrere hunderttausend Euro, nicht beachtet – warum braucht er so viel Geld?
